已知：橢圓 [math]x^2/6 + y^2/2=1[/math] 與雙曲線 [math]x^2/n - y^2=1[/math] 有共同焦點[br]試求：cos ∠FPF' = ？

解答：[br][list][br][*] 由橢圓方程式知道：橢圓的 a = √6，b = √2，所以 c = 2[br][*] 由於共用焦點，所以雙曲線的 c = 2[br][*] 由雙曲線方程式知道：雙曲線的 b = 1，所以雙曲線的 a = √3[br][/list][br][br]假設：p = PF 長、q = PF' 長[br][list][br][*] 因為 P 在橢圓上，所以：p + q = 2√6[br][*] 因為 P 在雙曲線上，所以：p - q = 2√3[br][/list][br][br]兩式平方：[br][list][br][*] p² + 2pq + q² = 24[br][*] p² - 2pq + q² = 12[br][/list][br][br]兩式相加減，可得：[br][list][br][*] p² + q² = 18[br][*] 2pq = 6[br][/list][br][br]最後，利用「餘弦定理」：[br][list][br][*] [math]\cos ∠FPF' = \dfrac{p^2+q^2-4^2}{2pq} = \dfrac{1}{3} [/math][br][/list]