Determinare il valore del parametro reale [math]k[/math] in modo che la retta di equazione cartesiana [math]y=x-2[/math] risulti tangente alla curva [math]y=x^3+kx[/math].

Siano [math]r:y=x-2[/math] una retta fissata e [math]f:y=x^3+kx[/math] un fascio di cubiche.[br]Sia [math]x=x_0[/math] l'ascissa del loro punto di tangenza. Tale punto è comune ad entrambe, quindi soddisfa la condizione [math]x_0-2=x_0^3+kx_0[/math].[br]Risolvendo la condizione rispetto a [math]k[/math] otteniamo [math]k=\frac{x_0-2-x_0^3}{x_0},x_0\ne0[/math]. (*)[br][br]La retta e il fascio di cubiche sono tangenti tra loro in [math]x=x_0[/math] se il coefficiente angolare della retta [math]m=1[/math] è uguale al valore della derivata del fascio valutata in [math]x=x_0[/math].[br][math]f'\left(x\right)=3x^2+k\rightarrow f'\left(x_0\right)=3x_0^2+k[/math][br]Imponendo la condizione [math]3x_0^2+k=1[/math] e sostituendo il valore di [math]k[/math] ottenuto in precedenza, otteniamo [math]x_0=1[/math], che è l'ascissa del punto di tangenza.[br][br]Sostituendo [math]x_0=1[/math] nella (*) otteniamo il valore di [math]k[/math] cercato, che è [math]k=-2[/math].[br][br][br][i][color=#1155cc]Usa lo slider[/color][/i] [math]k[/math][color=#1155cc] [i]nell'app che segue per esplorare la posizione reciproca della retta e del fascio di cubiche.[/i][/color]