[size=150]Jede differenzierbare Funktion F, für die F '(x) = f gilt, heißt Stammfunktion von f. [br]Nach dem Hauptsatz ist für stetige Funktionen f die Integralfunktion I(x) = Integral(f, a, x) eine Stammfunktion. Für je zwei (verschiedene) Stammfunktionen F und G von f gilt stets G(x) = F(x) + c mit einer reellen Zahl c (≠ 0). Dies ermöglicht in vielen Fällen, Integrale effektiv zu berechnen. [/size]
[list=a][size=150][*]Zeigen Sie: Ist F eine Stammfunktion von f, so ist F(x) + c auch eine Stammfunktion von f.[/*][*]Berechnen Sie aus Integral(f, a, x) = F(x) + c den Wert für c. [i]Tipp: Setzen Sie x = a.[br][/i]Folgern Sie daraus den Satz: Ist F eine Stammfunktion der stetigen Funktion f, so gilt Integral(f, a, b) = F(b) – F(a). [/*][*]Begründen Sie die Aussagen aus a) und b) mithilfe der GeoGebra-Lernumgebung anschaulich.[/*][*]Überprüfen Sie exemplarisch die Korrektheit der Formel. [/*][/size][/list]
[br][list=a][*](F(x) + c)' = F'(x) + 0. [/*][*]Integral(f, a, a) = 0 = F(a) + c. Daraus folgt F(a) = -c.[/*][*]Anschaulich zu a): eine Verschiebung in y-Richtung ändert die Steigung an dieser Stelle nicht. [br]Anschaulich zu b): Die Stammfunktion F[sub]c[/sub] muss um -F[sub]c[/sub](a) verschoben werden, damit sie bei a den Wert 0 hat. [/*][*] [/*][/list]