Una [i]funzione esponenziale[/i] è una funzione nella forma[br][center][math]f\left(x\right)=b^x[/math][/center]in cui il termine [math]b[/math] si chiama [i]base[/i], con [math]b>0[/math] e [math]b\ne1[/math], ed [math]x[/math] si chiama [i]esponente[/i], e può assumere qualsiasi valore reale.[br]

La base [math]b[/math] deve essere:[br][list][*][i]positiva[/i]: affinché il dominio della funzione sia [math]\mathbb{R}[/math]. Infatti, se ad esempio avessimo [math]f\left(x\right)=\left(-2\right)^x[/math], allora [math]f\left(\frac{1}{2}\right)=\left(-2\right)^{\frac{1}{2}}=\sqrt{\left(-2\right)}[/math], ma questa operazione non è possibile nell'insieme dei numeri reali.[/*][*][i]non[/i] 0 e [i]non[/i] 1: per questi valori di [math]b[/math], la funzione esponenziale degenera in una retta orizzontale, rispettivamente [math]f\left(x\right)=0^x=0[/math] e [math]f\left(x\right)=1^x=1[/math].[br][/*][/list]

L'applet che segue ti consente di interagire con il grafico di una funzione esponenziale.[br][br][list=1][*]Utilizza lo slider che definisce il valore della [i]base [/i]per confrontare la forma del grafico quando [math]b>1[/math] o [math]b<1[/math].[/*][br][*]Seleziona [i]Tabella[/i] per aprire la tabella di valori relativa alla funzione visualizzata: tre di questi valori sono predefiniti, ed in particolare [math]f\left(-1\right)[/math] (il valore inverso della base), [math]f\left(0\right)[/math] (l'intersezione con l'asse [i]y[/i]) ed [math]f\left(1\right)[/math] (il valore della base). Questi sono i tre punti fondamentali che dovresti sempre utilizzare per tracciare il grafico di una funzione esponenziale. Trascina il punto sull'asse [i]x[/i] per scegliere un altro punto in cui valutare il valore assunto dalla funzione. (Tutti i valori in tabella sono approssimati a 2 cifre decimali).[/*][br][*]Seleziona [i]Monotonia [/i]per visualizzare ed esplorare le definizioni di funzione [i]crescente [/i]o [i]decrescente [/i]applicate al grafico corrente, trascinando i punti sull'asse [i]x[/i].[/*][br][*]Seleziona [i]Mostra[/i] [math]e^x[/math] per visualizzare il grafico della funzione esponenziale con base [math]e=2.71828...[/math], che è una costante matematica: un numero decimale illimitato che ha una notevole importanza in molte applicazioni della matematica.[br][br][/*][/list]

Data una funzione esponenziale [math]f\left(x\right)=b^x[/math], con [math]b>0[/math] e [math]b\ne1[/math]:[br][list][*]il dominio della funzione è [math]\mathbb{R}=\left(-\infty,+\infty\right)[/math][/*][*]l'insieme immagine della funzione è [math]\left(0,\infty\right)[/math][/*][*]l'intersezione del grafico con l'asse [i]y[/i] è sempre 1[br][/*][*]la funzione ha asintoto orizzontale [math]y=0[/math][/*][*]la funzione è crescente se [math]b>1[/math], e decrescente se [math]b<1[/math][br][/*][/list]