Llamamos [b]razón[/b] entre dos cantidades a la fracción que resulta de dividir una cantidad entre la otra.[br] [color=#0000ff]Los números 3 y 5 están en razón [math]\frac{3}{5}[/math][/color][br] [color=#0000ff]El número [b][color=#ff0000]3[/color][/b] recibe el nombre de [b][color=#ff0000]antecedente[/color][/b] (es el numerador de la fracción)[br] [/color][color=#0000ff]El número [color=#ff0000][b]5[/b][/color] recibe el nombre de [b][color=#ff0000]consecuente[/color][/b] (es el denominador de la fracción)[/color][br][list][*]En una fracción el numerador y el denominador sólo pueden ser números enteros. En una razón antecedente y consecuente pueden ser cualquier número real (tener decimales)[/*][/list][br]Dos razones equivalentes forman una [b]proporción[/b].[br] [color=#0000ff]Los números 3, 5, 9 y 15 forman la proporción [math]\frac{3}{5}=\frac{9}{15}[/math][/color][br] En la razón anterior, [b][color=#ff0000]3[/color][/b] y [b][color=#ff7700]15[/color][/b] son los [b]extremos proporcionales[/b] ([color=#ff0000]3[/color] es el [color=#ff0000]primero proporcional[/color] y [color=#ff7700]15[/color] es el [color=#ff7700]cuarto proporcional[/color]), [b][color=#6aa84f]5[/color][/b] y [b][color=#3c78d8]9[/color][/b] son los medios proporcionales ([color=#6aa84f]2º[/color] y [color=#3c78d8]3º[/color] proporcionales, respectivamente)[br][br]Para que cuatro números formen proporción, [b]el producto de medios debe ser igual al producto de extremos.[/b] En nuestro ejemplo:[br] [math]\frac{3}{5}=\frac{9}{15} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{rcl}5\cdot9&=&3\cdot 15\\45&=&45\end{array}\right.[/math]

[b]Teorema de Tales[/b][br]Si tenemos un sistema de paralelas que corta a dos segmentos concurrentes, los segmentos que las paralelas determinan sobre uno de los concurrentes guardan la misma proporción con sus segmentos correspondientes en el otro concurrente.[br][br]En el siguiente applet, desplaza los puntos G e I y comprueba como la razón entre EG y FI es siempre la misma que entre GH e IJ

Si se tienen varias razones que guardan la misma razón de proporción entre sí, también la suma de antecedentes (numeradores) partida por la suma de consecuentes (denominadores) guarda la misma razón

En la sección anterior vimos qué ocurría si dos rectas concurrentes eran cortadas por varias paralelas.[br]Ahora vamos a un caso un poco más particular, las rectas concurrentes pasarán a ser secantes por lo que veremos varios triángulos cuando hagamos la construcción del teorema de Tales.[br]Establecemos en primer lugar la relación tal y como hacíamos en el teorema (observa que los tres triángulos de debajo son los que aparecen en el sistema de arriba y cómo varían)

Veamos qué ocurre con los lados correspondientes de estos triángulos:[br] Entre ellos guardan la misma relación de proporción, incluso el lado que viene dado por las paralelas (esto no ocurría en el teorema de Tales)[br][br]En teorema de Tales la relación sólo se cumplía entre los segmentos correspondientes entre las concurrentes. Cuando se trata de triángulos, se verifica la proporción para los lados correspondientes en ambos triángulos.[br][br]En el siguiente applet puedes comprobar las relaciones desde el punto de vista de los lados correspondientes de los triángulos. Puedes variar el deslizador para ver las tres posibles relaciones y también variar los puntos D, E y C.

Decimos que dos o más triángulos están en [b]posición de Tales[/b] si tienen un ángulo común y los lados opuestos a dicho ángulo son paralelos

Construimos usando el método de Tales triángulos semejantes a los que forman el polígono original.[br]En concreto se trata de triángulos cuyos lados miden la mitad que los originales.[br]Al colocar estos triángulos de forma adecuada, obtenemos un polígono semejante al original, pero cuyos lados miden la mitad.