九点円とオイラー線の研究

Bunryu Kamimura, Aug 14, 2015

研究の動機 ◎オイラー線に内心が入っていないのはなぜ？ ◎三角形の５心というけれど、傍心は外側にあるのはなぜ？ このことを調べようと思って作図を始めました。 すると、そこには[b]九点円[/b]が重要な意味を持っていることが見えてきたのです。

Table of Contents

  1. 内接円と傍接円
    1. 内接円と傍接円
    2. 九点円と内接円
    3. 垂心と垂足三角形
    4. 三角形の心
  2. 内心と九点円心
    1. 二つの円の関係は？
    2. 九点円 Euler's circle
    3. 傍九点
    4. 九点円と傍接円の接点
  3. 九点円と外接円
    1. 外接円が九点円に
    2. 垂足三角形と傍心三角形の双対性
  4. オイラー線の研究
    1. 三角形の九点円と五心
    2. 三角形の心の相互関係
    3. 傍心三角形のオイラー線
    4. 三角形の心と極線

1.

内接円と傍接円

内接円と傍接円は同時にでき、対になっています。 そして、九点円はこの二つの円と密接につながっています。

  • 1. 内接円と傍接円
  • 2. 九点円と内接円
  • 3. 垂心と垂足三角形
  • 4. 三角形の心

1.1.

内接円と傍接円

– Bunryu Kamimura

1.2.

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1.3.

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1.4.

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2.

内心と九点円心

傍接円と九点円の接点 内接円と九点円の接点 傍接円と三角形の接点 これらの作る交点が新しい「三角形の心」をつくります。

  • 1. 二つの円の関係は？
  • 2. 九点円 Euler's circle
  • 3. 傍九点
  • 4. 九点円と傍接円の接点

2.1.

二つの円の関係は？

この二つの円は同じもので、[b]９点円[/b]という。[br]三角形ABCにおいて、各辺の中点と垂線の足とその中点の９点は同一円周上にあって、その中心NはOHの中点で、半径はR／２である。
– Bunryu Kamimura

2.2.

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2.3.

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2.4.

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3.

九点円と外接円

外接円は傍心三角形の九点円になります。

  • 1. 外接円が九点円に
  • 2. 垂足三角形と傍心三角形の双対性

3.1.

外接円が九点円に

△ABCの外接円が傍心三角形EFGの九点円になっています。
– Bunryu Kamimura

3.2.

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4.

オイラー線の研究

傍心三角形を作っていくと、 外心→九点円心 （外心＝九点円心） 内心→垂心　　（内心＝垂心） と変わります。

  • 1. 三角形の九点円と五心
  • 2. 三角形の心の相互関係
  • 3. 傍心三角形のオイラー線
  • 4. 三角形の心と極線

4.1.

三角形の九点円と五心

△ABCが正三角形の時を原点として、頂点を動かすと空間が広がっているように感じます。 外心が一番手前、次が重心、そして九点円心と並び、垂心が一番奥の方にあるように感じます。 円は横に広がり、球のようです。 九点円は外接円になります。 つまり、傍心三角形の内接円と外接円（三角形の九点円）はフォイエルバッハ点で接しています。
– Bunryu Kamimura

4.2.

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4.3.

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4.4.

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