Bisher waren alle Funktionsgleichungen durch Aufgabenzettel oder Mathematikbücher vorgegeben. Woher kommen diese Funktionsgleichungen? Tatsächlich kann sich jeder auch selbst maßgeschneiderte Funktionsgleichungen erstellen. Das heißt es ist möglich, Funktionsgleichungen zu finden, die tatsächlich auf realen Messwerten beruhen. Im Folgenden wird beschrieben, wie das geht.[br]In diesem Kapitel werden wir nur [b]ganzrationale Funktionen[/b] erstellen. Wer nicht mehr so genau weiß, was das ist, [url=https://www.geogebra.org/m/bskfmr3j]kann hier noch einmal nachschauen[/url].[br]Unter anderem finden wir unter dem oben stehenden Link folgende Aussage: [color=#980000]Eine Funktion [math]n[/math]-ten Grades ist durch [math]n+1[/math] Punkte eindeutig bestimmt[/color]. [br][list][*]Wenn ich 5 Punkte vorgegeben habe, durch die mein Funktionsgraph verlaufen soll, dann kann das nur mit einer Funktion 4-ten Grades geschehen. [/*][*]Wenn ich eine Funktion 3-ten Grades erzeugen möchte, dann brauche ich dazu 4 Informationen, zum Beispiel 4 Punkte, die der Funktionsgraph schneiden soll.[/*][/list]

[list=1][*]Einen [b][color=#980000]Prototyp[/color][/b] für die Funtionsgleichung bestimmen: Als erstes muss man sich im Klaren sein, was für eine Funktion erstellt werden soll. Eine Funktion ersten, zweiten oder dritten oder noch höheren Grades? Wenn diese Entscheidung gefallen ist, dann kann für diese Funktion ein Prototyp erstellt werden. Für eine Funktion 3-ten Grades lautet der Prototyp: [math]f(x)=a_3\cdot x^3+a_2\cdot x^2+a_1\cdot x+a_0[/math][/*][*]Welche [b][color=#980000]Bedingungen[/color][/b] soll diese Funktion erfüllen. [b]Man braucht so viel Bedingungen, wie unbekannte Parameter im Prototyp[/b] zu finden sind. Im Prototyp der Funktion 3-ten Grades sind dieses die Zahlen [math]a_3[/math], [math]a_2[/math], [math]a_1[/math] und [math]a_0[/math]. Es werden also vier Bedingungen benötigt, das können zum Beispiel 4 Punkte sein, die der Funktionsgraph schneiden soll.[/*][*]Aus diesen Bedingungen wird ein [b][color=#980000]Gleichungssystem[/color][/b] erstellt.[/*][*]Dieses [b][color=#980000]Gleichungssystem wird gelöst[/color][/b]. Händisch mit dem [i]Gauß'schen Algorithmus [/i]oder mit einem Taschenrechner. In unserem Beispiel dritten Grades erhält man als Ergebnis sind die Zahlen [math]a_3[/math], [math]a_2[/math], [math]a_1[/math] und [math]a_0[/math], die dann in den Prototyp eingesetzt werden und fertig ist die gesuchte Funktionsgleichung.[br][/*][/list]

Hier ist das Bild von einem Wasserstrahl. Ein Wasserstrahl ist immer eine Parabel, das heißt eine Funktion zweiten Grades. Für eine Funktion zweiten Grades braucht man drei Bedingungen, also zum Beispiel 3 Punkte. Wenn die Rechnung fertig ist, dann kann die gefundene Gleichung unten in die Eingabezeile eingetragen werden und dann sollte der dadurch entstehende Funktionsgraph genau auf dem Wasserstrahl liegen. Probieren Sie wir es aus:

[list=1][*]Da das Ergebnis eine Parabel, eine ganzrationale Funktion zweiten Grades, sein muss, ist der gesuchte Prototyp der Funktion: [math]f(x)=a_2\cdot x^2+a_1\cdot x+a_0[/math][/*][*]Nun suchen wir uns drei Punkte heraus, die möglichst genau auf der Parabel liegen: [math]A(1|3)[/math], [math]B(4|6)[/math] und [math]C(8|3)[/math]. Wenn der Funktionsgraph von [math]f(x)[/math] durch den Punkt [math]A(1|3)[/math] geht, dann heißt dass für die Funktionsgleichung, dass [math]f(1)=3[/math]. Genauso gilt dann für den Punkt [math]B[/math], dass [math]f(4)=6[/math] und für [math]C[/math], dass [math]f(8)=3[/math].[/*][*]Diese drei Bedingungen können nun in den Prototypen eingesetzt werden, und wir erhalten ein Gleichungssystem: [br][img]data:image/png;base64,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Gleichungssystem lässt sich mit einem CAS-Taschenrechner lösen: Hier am Beispiel des HP-Prime:[/*][/list][list][*] Speichern Sie den Term [b][color=#0000ff]a2*x^2 + a1*x + a0[/color][/b] unter dem Namen [b][color=#0000ff]f(x)[/color][/b] ab[/*][*] Dann: [b][color=#0000ff]solve( { f(1)=3 , f(4)=6 , f(8)=3 } , { a2, a1, a0})[/color][/b] Dabei dürfen Sie keine Klammer und auch kein Komma vergessen. Statt [color=#0000ff]{ a2, a1, a0}[/color] kann auch [color=#0000ff][[/color][color=#0000ff] a2, a1, a0][/color] geschrieben werden.[/*][*]Als Ergebnis erhält man: [math]a_2=-\frac{1}{4}[/math], [math]a_1=\frac{9}{4}[/math] und [math]a_0=1[/math] [/*][*]Einsetzen in den Prototyp und wir erhalten die gesuchte Funktionsgleichung: [math]f(x)=-\frac{1}{4}\cdot x^2+\frac{9}{4}\cdot x+1[/math][/*][/list][br][b][size=150]Die Belohnung:[/size][/b][br]Nun geben Sie in die Eingabezeile oben diese Gleichung ein. Der Funktionsgraph, der dabei entsteht sollte tatsächlich genau auf dem Wasserstrahl liegen. Probieren Sie es aus.[br]

Auf der Geogebra-Animation oben lassen sich noch weitere Wasserstrahlen betrachten. Berechnen Sie auch dazu die Funktionsgleichungen. [br]Sie können Ihr Ergebnis selbst auf Richtigkeit prüfen, indem Sie das Ergebnis in die Eingabezeile eingeben. Dann sollte Ihr Funktionsgraf - wenn er richtig ist - genau auf dem Wasserstrahl des Bildes liegen.

In einem Polypol wird der Preis eines Gutes vom Markt, also von der Konkurrenz festgelegt. Daher ist die Preis-Absatzfunktion [math]p(x)[/math] für alle Ausbringungsmengen [math]x[/math] konstant. Also [math]p(x)=p[/math] .[br]Damit ist die Erlösfunktion die lineare Funktion [math]E(x)=p\cdot x[/math] und die Gewinnfunktion lässt sich schreiben, als: [math]G(x)=E(x)-K(x)=p\cdot x-K(x)[/math]. [math]K(x)[/math] ist dabei Ihre individuelle Kostenfunktion für Ihr Unternehmen. [br]Unternehmen streben in der Regel das Gewinnmaximum an, also versuchen sie, genau die Menge [math]x_{max}[/math] an Waren zu verkaufen, mit der ihr Gewinn am größten ist.[br][br]Um die Stelle zu berechnen, an der die Gewinnfunktion maximal ist, muss die Ableitung der Gewinnfunktion gleich Null gesetzt werden (notwendige Bedingung für Extremstellen), also [math]G'(x_{max})=0[/math].[br][br]Das machen wir nun mit der Gewinnfunktion [math]G(x)=p\cdot x-K(x)[/math] (s.o.). Die Ableitungsfunktion dieser Funktion lautet [math]G'(x)=p-K'(x)[/math]. Für den maximalen Gewinn gilt daher: [math]0=p-K'(x_{max})[/math]. Wenn man diese Gleichung nach dem Preis [math]p[/math] umstellt, dann gilt offenbar: [br][math]p=K'(x_{max})[/math][br]Das heißt, [b][color=#45818e]wenn bei einer Ausbringungsmenge [math]x_{max}[/math] die Grenzkostenfunktion [math]K'(x_{max})[/math] [/color][/b][b][color=#45818e][b][color=#45818e][b][color=#45818e] gleich dem Preis der Ware[/color][/b] [/color][/b]ist, dann ist der Gewinn maxima[/color][/b][color=#45818e][b]l.[/b][/color] [b][br]Daher nennt sich in einem Polypol die Grenzkostenfunktion auch die[/b] [color=#980000][b]individuelle Angebotsfunktion[/b][/color].[br][br]Hinweis: In späteren Kapiteln wird dieses [math]x_{max}[/math] auch einfach [math]x_g[/math] genannt.[br]

Gegeben ist die Kostenfunktion [math]K(x)=x^3-12\cdot x^2+54\cdot x+80[/math] (siehe Abbildung).[br]Berechne dazu (möglichst händisch) die individuelle Angebotsfunktion und füge diese auch in das unten stehende Koordinatensystem ein (in die Eingabezeile).

Gebrochenrationale Funktionen bestehen - wie der Name schon sagt - aus einem Bruch: [math]f(x)=\frac{z(x)}{n(x)}[/math].[br]Dabei sind die Zählerfunktion [math]z(x)[/math] und die Nennerfunktion [math]n(x)[/math] ganzrationale Funktionen.[br]Die Zählerfunktion darf auch eine konstante Funktion sein, also z.B. [math]z(x)=2[/math]. Die Nennerfunktion muss aber mindestens eine ganzrationale Funktion ersten Grades sein.[br][br][b]Beispiele für gebrochenrationale Funktionen sind[/b]:[br][math]f(x)=\frac{1}{x}[/math][br][math]g(x)=\frac{x^3-4x^2-7x+8}{x^2-3x-10}[/math][br][math]h(x)=\frac{(x+3)\cdot x\cdot(x-1)\cdot(x-5)}{(x+2)\cdot(x+1)\cdot(x-1)}[/math][br]Beispiele aus der Wirtschaft:[br]Eine Stückkostenfunktion:[math]k(x)=\frac{x^3-8\cdot x^2+24\cdot x+10}{x}=x^2-8\cdot x+24+\frac{10}{x}[/math][br]oder die variablen Stückkosten: [math]k_V(x)=\frac{x^3-8\cdot x^2+24\cdot x}{x}[/math][br]Eine Isoquante: [math]I_q:y(x)=\frac{5,4}{x-2,5}+4[/math][br]

Gegeben ist die gebrochenrationale Funktion [math]f(x)=\frac{z(x)}{n(x)}[/math][br][list][*]Die Nullstellen der Zählerfunktion [math]z(x)[/math] sind auch die [color=#980000][b]Nullstellen[/b][/color] der Funktion [math]f(x)[/math].[/*][*]Die Nullstellen der Nennerfunktion [math]n(x)[/math] sind [color=#980000][b]Definitionslücken[/b][/color] der Funktion [math]f(x)[/math].[/*][/list]

Was sind Definitionslücken? Hat eine gebrochenrationale Funktion eine Definitionslücke, dann existiert an dieser Stelle kein Funktionswert, die Mathematiker sagen "der Funktionswert ist dort nicht definiert". Denn wenn die Nennerfunktion [math]n(x)[/math] eine Nullstelle hat, dann müsste man, um den Funktionswert von [math]f(x)[/math] zu berechnen, durch Null teilen. Und nichts ist in der Mathematik so sehr verboten, wie durch Null zu teilen (siehe [url=https://www.geogebra.org/m/zkz8s5re]hier[/url]).[br][br]Die Funktionsgrafen von gebrochenrationalen Funktionen sind eine schöne Veranschaulichung, [i]warum[/i] man nicht durch Null teilen darf. Denn an all den Stellen, an denen die Nennerfunktion Nullstellen hat, scheint der Funktionsgraph "[i][color=#980000][b]zu explodieren[/b][/color][/i]" (--> Polstellen).[br][br][color=#980000][b][size=150]Es gibt verschiedene Arten von Definitionslücken:[/size][/b][/color]

Wenn eine [i]einfache[/i] oder eine[i] dreifache [/i]Nullstelle in der Nennerfunktion vorliegt, dann entsteht eine Polstelle mit Vorzeichenwechel (VZW). Hier [b]explodiert[/b] der Funktionsgraph an der Polstelle, d.h. er verschwindet auf der einen Seite nach [math]-\infty[/math] und kommt auf der anderen Seite der Polstelle aus [math]+\infty[/math] wieder. [br]In der folgenden App kann man die Polstelle verschieben und beobachten, wie sich dabei der Funktionsterm verändert.

Wenn eine doppelte oder eine vierfache Nullstelle in der Nennerfunktion vorliegt, dann entsteht eine Polstelle ohne VZW. D.h. die Funktion verschwindet z.B. nach [math]+\infty[/math] und kommt hinter der Polstelle auch aus [math]+\infty[/math] wieder. [br][br]Die unten dargestellte Funktion hat zwei Polstellen ohne Vorzeichenwechsel. Verschiebe die Polstellen und sieh, wie sich der Funktionsgraph und die Funktionsgleichung dabei verändern:

Wenn eine ganzrationale Funktion Nullstellen hat, dann lässt sie sich faktorisieren, d.h. in Linearfaktordarstellung schreiben: [math]g(x)=(x-x_{N1})\cdot(x-x_{N2})\cdot...[/math][br]Wenn in einer gebrochenrationalen Funktion an der gleichen Stelle eine Nullstelle in der Zählerfunktion [math]z(x)[/math] und auch in der Nennerfunktion [math]n(x)[/math] vorliegt, dann könnte man die Linearfaktoren zu diesen Nullstellen einfach wegkürzen. [b]Trotzdem bleibt hier ein "Loch" im Funktionsgraphen[/b]. Solche Definitionslücken nennt man [color=#980000][b]hebbare Definitionslücken[/b][/color]:[br][br]Beispiel:[br] [math]f(x)=\frac{x\cdot(x-2)\cdot(x-3)}{(x+1)\cdot(x-2)}[/math] Hier haben Zähler- und Nennerfunktion eine Nullstelle bei [math]x=2[/math]. Der Linearfaktor könnte also einfach gekürzt werden. Tatsächlich sieht der Funktionsgraph dieser Funktion genau so aus, wie der von [math]f_1(x)=\frac{x\cdot(x-3)}{x+1}[/math].[br]Da man beim Kürzen aber den Zähler und den Nenner des Bruches durch [math](x-2)[/math] teilen muss, teilt man hier - wenn [math]x=2[/math] ist - durch Null! Das ist nach wie vor verboten. Das heißt obwohl der Funktionsgraph von [math]f(x)[/math] genau so aussieht, wie der von [math]f_1(x)[/math], ist er nicht der gleiche, denn er hat ein "Loch" bei [math]x=2[/math]. Probieren Sie es aus: in der folgenden Animation ist die Funktion abgebildet. Mit dem Schieberegler lässt sich ein [math]x[/math] wählen und Sie sehen, wie sich der Punkt [math]\mathbf{A}[/math] auf dem Funktionsgraphen mit dem [math]x[/math] verschiebt.

Es gibt Funktionen, deren Funktionsgleichung aus mehreren Funktionsgleichungen zusammengesetzt ist. So ist es zum Beispiel möglich, zwei Funktionsgleichungen mit einander zu multiplizieren:[br][br][b]Ein Beispiel[/b]:[br]Die Funktionsgleichung [math]f(x)=(3\cdot x^2+5\cdot x-1)\cdot(4\cdot x^2+8)[/math] ist ein Produkt der Funktionsgleichungen [math]u(x)=3\cdot x^2+5\cdot x-1[/math] und [math]v(x)=4\cdot x^2+8[/math]. Man kann daher auch schreiben: [math]f(x)=u(x)\cdot v(x)[/math][br][color=#980000]Man beachte die Klammern in der Gleichung von f(x)!! [/color]

Ist die Funktion [math]f(x)=u(x)\cdot v(x)[/math] gegeben, dann lautet deren Ableitungsfunktion:[br][math]\text{\Large{$\boxed{f'(x)=u'(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v'(x)}$}}[/math]

Gegeben ist die Funktion [math]f(x)=(3\cdot x^2+5\cdot x-1)\cdot(4\cdot x^2+8)[/math][br]Um die Produktregel anzuwenden, müssen zuerst alle "Bausteine" zusammengesucht werden:[br][list][*] [math]u(x)=3\cdot x^2+5\cdot x-1[/math][math]\Rightarrow u'(x)=6\cdot x+5[/math] [/*][*][math]v(x)=4\cdot x^2 + 8 \Rightarrow v'(x)=8\cdot x[/math] [/*][/list]Nun müssen diese Bausteine zusammengefügt werden:[br][math]f'(x)=u'(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v'(x)[/math] also:[br][math]\underline{f'(x)=(6\cdot x+5)\cdot(4\cdot x^2+8)+(3\cdot x^2+5\cdot x-1)\cdot(8\cdot x)}[/math][br][br]Dies ist im Grunde schon das richtige Ergebnis. Aber es wäre eine Zumutung, wenn man damit weiterrechnen müsste. Daher sollte dieses Ergebnis auf jeden Fall noch ausmultipliziert und zusammengefasst werden:[br][math]\begin{array}{ll}f'(x)&=24\,x^3 + 48\, x+20\,x^2+40+24\,x^3 + 40 \,x^2 -8\,x\\[br]&=\underline{\underline{48\,x^3+60x^2+40\,x+40}}\end{array}[/math][br]

Im folgenden Applet können Sie sich zwei Funktionen [math]u(x)[/math] und [math]v(x)[/math] ausdenken. Dann wird daraus eine Produktfunktion [math]f(x)=u(x)\cdot v(x)[/math] erstellt und Sie können damit die Funktion [math]f'(x)[/math] ausrechnen. Sie können das Ergebnis erst einmal ohne Termvereinfachung eintragen, um zu erfahren, ob Sie die Regel richtig angewendet haben. Dann sollten Sie sich aber auch an die Vereinfachung herantrauen ...

Für die Herstellung von Produkten oder auch bei Dienstleistungen braucht man unterschiedliche Produktionsfaktoren. Eine recht grobe Unterteilung sind die Produktionsfaktoren[br][list][*]Boden[/*][*]Arbeitskraft (Arbeitnehmer mal Arbeitsstunden)[br][/*][*]Kapital[/*][*]Wissen[br][/*][/list][b]Ein Beispiel[br][/b]Der Unternehmen [b][i]GrasEx[/i][/b] bietet den Service "Rasen mähen". Das kann es auf unterschiedliche Weise realisieren. Als mathematischen Extremfall könnte es viele viele Angestellte jeweils mit einer Nagelschere ausstatten und diese zum Mähen schicken. Dann braucht das Unternehmen eine große Menge des Produktionsfaktors Arbeitskraft und nur wenig vom Produktionsfaktor Kapital, d.h. nur wenig Geld für das Arbeitsmaterial auszugeben, Nagelscheren kosten nicht viel. Wahrscheinlicher ist, dass die Angestellten von [b][i]GrasEx[/i] [/b]jeweils einen Rasenmäher gestellt bekommen. Rasenmäher sind aber viel teurer als Nagelscheren, daher muss [i][b]GrasEx[/b][/i] mehr Kapitel einsetzen um Geräte zu kaufen. Allerdings kann dann beim Produktionsfaktor Arbeit gespart werden, denn fünf Arbeiter mit Rasenmäher schaffen vermutlich genau so viel, wie 500 mit einer Nagelschere. Vielleicht investiert das Unternehmen aber auch in "Aufsitzrasenmäher", die in kurzer Zeit sehr große Flächen mähen können. Dann wird noch einmal mehr vom Produktionsfaktor Kapital (für die Rasenmäher) benötigt aber viel weniger vom Produktionsfaktor Arbeitskraft. Schafft [i][b]GrasEx[/b][/i] sich schließlich sehr teure Mähroboter an, dann braucht das Unternehmen nur noch Personal, um dieRoboter an den Einsatzort zu bringen und wieder abzuholen.[br]Das heißt die Firma [i][b]GrasEx[/b][/i] kann mit unterschiedlichen Kombinationen der Produktionsfaktoren Arbeitskraft und Kapital jeweils die gleiche Menge Rasen mähen. Natürlich versucht [i][b]GrasEx[/b][/i] die [i][b][color=#980000]Minimalkostenkombination[/color][/b][/i] zu finden, also die Kombination von Arbeitskraft und Kapital, die am Ende am wenigsten kostet.

[list=1][*][b]Welches sind die Kombinationen, mit denen man gleich viel Ertrag erreicht? [/b]Diese Kombinationen können mit einer Funktionsgleichung, der [i][b][color=#980000]Isoquante[/color][/b][/i] bestimmt werden.[/*][*][b]Wie viel kosten diese Kombinationen[/b]?[br]Um das zu klären, erstellen wir eine [i][b][color=#980000]Isokostenfunktion[/color][/b][/i]. Diese Funktion beschreibt, welche Kombinationen von Produktionsfaktoren es für die gleichen Kosten gibt. Diese Kombinationen führen also alle zu den gleichen Kosten, können aber völlig unterschiedliche Erträge bringen.[/*][*][b]Welche Kombination von Produktionsfaktoren kostet am wenigsten?[/b][br]Wenn wir diese beiden Funktionsgleichungen gefunden haben, die [i][b]Isoquante[/b][/i] und die [i][b]Isokostenfunktion[/b][/i], dann können wir auch die Kombination von Produktionsfaktoren berechnen, die die wenigsten Kosten verursacht. Und genau das ist die [i][b][color=#980000]Mnimalkostenkombination[/color][/b][/i].[br][/*][/list]

Bisher haben wir Änderungsraten einer Funktion mit ihrer ersten Ableitung berechnet. Dabei kam eine absolute Zahl heraus. Bei einer Kostenfunktion könnte zum Beispiel die Änderung an einer Stelle [math]x=a[/math] die Änderungsrate mit [math]K'(a)[/math] berechnet werden. Heraus kommt eine Zahl wie zum Beispiel [math]100\textstyle{\frac{\text{GE}}{\text{ME}}}[/math].[br]Oft interessiert aber gar nicht die absolute Änderung einer Größe, sondern oft ist eine relative Änderung, zum Beispiel in Prozent, viel aussagekräftiger. Wenn ein Produkt um 10€ teurer wird, dann spielt es schon eine Rolle, ob es vorher 5€ oder 500€ gekostet hat. Im letzteren Fall würde man den Preisanstieg als nicht besonders hoch empfinden, während eine Steigerung von 5€ auf 15€ eine Verdreifachung des alten Preises wäre. [br]Trifft aber die Aussage zu, etwas ist um zum Beispiel um 50% teurer geworden, dann ist leicht zu beurteilen, dass der Preisanstieg hoch ist.

Mit Elastizitäten kann man berechnen, um wie viel Prozent sich eine abhängige Größe - zum Beispiel die Kosten - ändert, wenn eine andere Größe - wie die Produktionsmenge - um einen bestimmten Prozentsatz verändert wird:[br][math]\text{\Big{\boxed{Elastizität=\frac{\text{prozentuale Änderung der reagierenden Größe}}{\text{prozentuale Änderung der verursachenden Größe}}}}[/math][br][br]Wenn die Elastizität hoch ist, dann reicht also eine kleine Veränderung einer "Stellschraube" um Großes zu bewirken. Wenn man viel verändern muss und die Wirkung nur sehr klein ist, dann ist die Situation "unelastisch".

Eine [b]absolute Änderung[/b] wird in der Mathematik mit dem griechischen Buchstaben [math]\Delta[/math] gekennzeichnet. Eine absolute Änderung der Ausbringungsmenge [math]x[/math] bekommt dann den Namen [math]\Delta x[/math]. Wenn man eine Größe nur ein kleines Bisschen ändert verwenden Mathematiker auch gerne ein Differential: Eine kleine Änderung wird dann als [math]dx[/math] bezeichnet und eine kleine Änderung im Preis als [math]dp[/math]. In der Technik und in der Physik schreibt man daher Ableitungsfunktionen einer Funktion [math]f(x)[/math] als [math]f'(x)=\frac{df}{dx}(x)[/math]. Damit ist angedeutet, dass es sich bei der Ableitung um ein winzig kleines Steigungsdreieck handelt ([math]df[/math] ist dann die Höhe des Dreieckes und [math]dx[/math] die Breite, siehe [url=https://www.geogebra.org/m/nsb5xsay]hier[/url]). [br][br]Eine [color=#980000][b]relative Änderung[/b][/color] setzt die absolute Änderung ins Verhältnis zum aktuellen Wert: Die relative Änderung der Warenmenge ist [math]\frac{\Delta x}{x}[/math] oder [math]\frac{dx}{x}[/math], die relative Änderung des Preises [math]p[/math] ist [math]\frac{\Delta p}{p}[/math] oder [math]\frac{dp}{p}[/math] und die relative Änderung einer beliebigen Größe [math]f[/math] ist dann [math]\frac{\Delta f}{f}[/math] oder [math]\frac{df}{f}[/math].

Gegeben ist eine verursachende Größe [math]a(x)[/math] (zum Beispiel die Warenmenge) und eine darauf reagierende Größe [math]b(x)[/math] (zum Beispiel Kosten), dann ist die Elastizität definiert, als der Bruch:[br][br][math]\text{\Large{\[\boxed{e(x)=\frac{\frac{db}{b}}{\frac{da}{a}}}\]}}[/math][br][br][math]e(x)[/math] wird auch als Elastizitätskoeffizient bezeichnet.

In den folgenden Kapiteln ist beschrieben, wie man die Elastizität der Nachfrage, des Angebotes und die Elastizität der Kosten berechnet. Aber alle Elastizitäten haben das gleiche Prinzip:[br][list][*]Es gibt eine verursachende Größe (zum Beispiel Warenmenge)[/*][*]Es gibt eine auf diese Ursache reagierende Größe (zum Beispiel die Kosten)[/*][*]Die Elastizität beschreibt immer den Bruch[br][br][math]\text{\Big{\boxed{Elastizität=\frac{\text{prozentuale Änderung der reagierenden Größe}}{\text{prozentuale Änderung der verursachenden Größe}}}}[/math][br][br][/*][*]Wenn eine prozentuale Änderung der Ursache zu einer größeren prozentualen Wirkung führt, dann ist [math]|e(x)|>1[/math] und dann ist die Situation [b][color=#980000]elastisch. [/color][/b][color=#980000][color=#000000][br]Also mit wenig Aufwand viel verändern.[/color][/color][/*][*]Wenn eine prozentuale Änderung der Ursache zu einer kleineren prozentualen Wirkung führt, dann ist [math]|e(x)|<1[/math] und dann ist die Situation [b][color=#980000]unelastisch. [/color][/b][color=#980000][color=#980000][color=#000000][br]Also mit viel Aufwand nur wenig verändern.[/color][/color][/color][b][color=#980000][/color][/b][/*][*]Wenn eine prozentuale Änderung der Ursache zu einer gleichen prozentualen Wirkung führt, dann ist [math]|e(x)|=1[/math] und dann ist die Situation [b][color=#980000]proportional elastisch[/color][/b]. In eingen Fällen wird eine proportional elastische Situation auch als [b][color=#980000]fließend[/color][/b] bezeichnet. Z.B. "die Nachfrage reagiert fließend" (u.a. Abitur 2024). Laut Wikipedia wird auch manchmal der Begriff "[color=#980000]einheitselastisch[/color]" verwendet.[/*][br][/list]

Wenn zum Beispiel eine Funktion [math]f(x)[/math] gegeben ist, dann ist es mit den Ableitungsregeln aus der 11ten Klasse (siehe [url=https://www.geogebra.org/m/fqrd6bqm#material/ww2wyhwq]Regeln[/url] und [url=https://www.geogebra.org/m/xermrhmr]Übungen[/url]) ein Leichtes, die Ableitungsfunktion [math]f'(x)[/math] zu berechnen. Genauso ist es einfach, durch weiteres Ableiten die Funktionen [math]f''(x)[/math] und [math]f'''(x)[/math] zu erhalten.[br]Aber kann man auch [math]f(x)[/math] berechnen, wenn nur die erste Ableitungsfunktion [math]f'(x)[/math] gegeben ist? Kann man "aufleiten"? [i]Im Prinzip ja[/i], sagen die Mathematiker, sie nennen das allerdings nicht [i]aufleiten[/i], sondern [color=#980000][b][i]integrieren[/i][/b][/color]. [br]Um eine Funktion zu integrieren muss das Ableiten also "umgedreht" werden. Das ist gar nicht so schwer:

Haben Sie es gewusst? Gratuliere, dann haben Sie das erste mal in Ihrem Leben erfolgreich integriert.

Wenn man eine Funktionsgleichung [math]f(x)[/math] ableitet, dann schreibt man einfach einen Strich hinter ihren Namen und erhält die Ableitungsfunktion [math]f'(x)[/math]. Die Schreibweise beim Integrieren ist etwas komplizierter:[br][math]f(x)=\int f'(x)dx[/math][br]oder [br][math]F(x)=\int f(x)dx[/math][br]Wenn man die Namen der Funktionen durch ihre Terme ersetzt, dann könnte das so aussehen:[br]ist [math]f(x)=5x^4[/math], dann gilt [math]F(x)=\int f(x)dx=\int5x^4dx=x^5[/math] [br]Eigentlich schreiben die Mathematiker noch ein [math]+c[/math] dahinter, aber dazu kommen wir später.[br]Was die Symbole [math]\int[/math] und [math]dx[/math] bedeuten, wird auch später geklärt. [math]\int[/math] heißt [color=#980000][i][b]Integralzeichen[/b][/i][/color] und [math]dx[/math] nennt man [color=#980000][i][b]Differential[/b][/i][/color].[br]Die Funktion, die man beim Integrieren herausbekommt, nennt man eine [i][b]Stammfunktion[/b][/i]. [math]f(x)[/math] ist also eine Stammfunktion von [math]f'(x)[/math] und [math]F(x)[/math] ist eine Stammfunktion von [math]f(x)[/math]. Für die Bezeichnung von Stammfunktionen verwendet man gerne große Buchstaben.

Wie für das Ableiten von Funktionsgleichungen gibt es auch für das Integrieren Rechenregeln. Die einfachsten Regeln heißen auch genau so wie in der Differentialrechnung:[br][list][*]Potenzregel[/*][*]Faktorregel[/*][*]Summenregel[br][/*][/list]

Im nächsten Kapitel kann man diese Regeln ein wenig üben.

Das Integral [math]\int\limits_a^b f(x) dx[/math] ist die Flächenbilanz (man sagt auch die [i]gerichtete Fläche[/i]) zwischen der Abszisse und dem Funktionsgraphen von [math]f(x)[/math] im Intervall [math]x \in [a;b][/math].[br][br]Wenn man ein Rechteck im Intervall [math][a;b][/math] zeichnet [br][list][*]dessen Grundseite auf der Abszisse liegt[/*][*]das die gleiche Flächenbilanz oder die gleiche gerichtete Fläche hat wie [math]f(x)[/math] [/*][/list]dann ist die die Höhe dieses Rechteckes [b][color=#980000]der mittlere Funktionswert[/color] [/b]der Funktion [math]f(x)[/math] im Intervall [math][a;b][/math].[br]Daher berechnet man den Mittelwert einer Funktion in einem Intervall [math][a;b][/math] mit[br][math]\overline f_{ab}=\frac 1{b-a} \cdot\int\limits_a^b f(x)\, dx[/math][br]In der folgenden App kann man die graphische Darstellung so eines Mittelwertes sehen. Das Rechteck hat immer die gleiche Größe, wie die Flächenbilanz unter [math]f(x)[/math] im Intervall [math][a;b][/math]. Schieben Sie die Punkte [math]a[/math] und [math]b[/math] hin und her und Sie sehen, wie ich der Mittelwert verändert. [br]

Gegeben ist die Funktion [math]f[/math] mit der Funktionsgleichung [math]f(x)=\frac{1}{2} \; x^{3} - \frac{3}{2} \; x^{2} - \frac{1}{2} \; x + \frac{3}{2}[/math]. [br]Gesucht ist der Mittelwert im Intervall [math]\left[-\frac 12;2\right][/math].[br][math]\begin{array}{ll}[br]\bar f_{[-\frac 12;2]}&=\frac 1{2-(-\frac 12)}\cdot \int\limits_{-0,5}^2 \frac{1}{2} \; x^{3} - \frac{3}{2} \; x^{2} - \frac{1}{2} \; x + \frac{3}{2}\,dx\\[br]&=\frac 1{\frac 52}\cdot\left[\frac{1}{8} \; x^{4} - \frac{1}{2} \; x^{3} - \frac{1}{4} \; x^2 + \frac{3}{2}\;x\right]_{-\frac 12}^2\\[br]&=\frac 25 \cdot\left[ \frac{1}{8} \; 2^{4} - \frac{1}{2} \; 2^{3} - \frac{1}{4} \; 2^2 + \frac{3}{2}\;2-\left(\frac{1}{8} \; \left(-\frac 12\right)^{4} - \frac{1}{2} \; \left(-\frac 12\right)^{3} - \frac{1}{4} \; \left(-\frac 12\right)^2 + \frac{3}{2}\;\left(-\frac 12\right)\right) \right]\\[br]&=\frac 25 \cdot\left[ \frac 18 \cdot 16- \frac 12\cdot 8-\frac 14\cdot 4+3-\left(\frac 18\cdot \frac 1{16}- \frac 12\cdot\left(- \frac 18\right) -\frac 14\cdot \frac 14-\frac 32\cdot \frac 12\right)\right]\\[br]&=\frac 25 \cdot\left[ 2-4-1+3-\left( \frac 1{128}+\frac 1{16}-\frac 1{16}-\frac 34\right)\right]\\[br]&=\frac 25 \cdot\left[ 0- \left(\frac 1{128}-\frac {96}{128}\right)\right]\\[br]&=\frac 25 \cdot\frac{95}{128} = \underline{\underline{\frac{19}{64}\approx 0,2969\approx 0,30}}[br]\end{array}[/math][br]