G⁴D en Divulgamat
Esta es una recopilación de los artículos publicados en la sección [color=#c51414][i]Geometría dinámica y Matemáticas interactivas[/i][/color] de la web de Divulgamat entre 2008 y 2010, realizados por el grupo [i][color=#c51414]G4D [/color][/i]de Geometría Dinámica ([color=#c51414]José Manuel Arranz[/color], [color=#c51414]Rafael Losada[/color], [color=#c51414]José Antonio Mora[/color] y [color=#c51414]Manuel Sada[/color]): [url]https://www.divulgamat.net/divulgamat15/index.php?option=com_alphacontent§ion=13&category=198&Itemid=67[/url] [img]https://www.divulgamat.net/divulgamat15/templates/divulgamat_informacion/images/cabecera.jpg[/img] [img]https://www.divulgamat.net/divulgamat15/templates/divulgamat_principal/images/logos/logo_rsme.gif[/img] [list][*]Arranz, José Manuel. [url]http://roble.pntic.mec.es/jarran2[/url] [*]Losada, Rafael. [url]https://www.geogebra.org/u/rafael[/url] [*]Mora, José Antonio. [url]http://jmora7.com[/url] [*]Sada, Manuel. [url]https://www.geogebra.org/u/manuel+sada[/url][/list]
Table of Contents
- El cristo de la farola
- 1. Introducción
- 2. Primera parte: El encargo
- 3. Otra vuelta de tuerca
- 4. Segunda parte: La madre de Irene
- 5. La segunda iluminación
- 6. La gran iluminación
- 7. La cuarta iluminación
- Conjeturas a partir de los puntos medios
- Puntos medios (1)
- Puntos medios (2)
- Puntos medios (3)
- Puntos medios (4)
- Puntos medios (5)
- Puntos medios (6)
- Puntos medios (7)
- Puntos medios (8)
- Centro de gravedad (1)
- Centro de gravedad (2)
- Centro de gravedad (3)
- Centro de gravedad (4)
- Centro de gravedad (5)
- Centro de gravedad (6)
- Centro de gravedad (7)
- La percepción tridimensional
- 1. Introducción
- 2. Polígonos simples
- 3. Dando la vuelta a la tortilla
- 4. Los ubicuos triángulos
- 5. Resultado 1
- 6. Resultado 2
- 7. Polígono interior
- 8. Resultado 3
- 9. Resultado 4
- 10. Resultado 5
- 11. Resultado 6
- 12. Resultado 7
- 13. Resultado 8
- 14. Resultado 9
- 15. Resultado 10
- 16. Polígonos cuerdos (conservan la razón)
- 17. Generalización
- 18. Conclusión
- Geometría de los rosetones góticos
- 1. Construir y medir
- 2. Dibujar para resolver el problema
- 3. Construir “con regla y compás”
- De luz y de color
- 1. Teoría del color
- 2. El método del barrido manual
- 3. La información del color
- 4. El método del barrido automático
- 5. Punto de Fermat
- 6. Suma y diferencia
- 7. Bisectores exteriores iguales
- 8. Bisectores interior y exterior mismo vértice
- 9. Bisectores interior y exterior distinto vértice
- 10. Bisectores iguales
- 11. Cuerdas proporcionales
- 12. Voronoi de dos puntos (mediatriz)
- 13. Diagrama de Voronoi
- 14. Voronoi taxicab
- 15. Voronoi curvo
- 16. Voronoi lejano
1. Introducción
[b]EL CRISTO DE LA FAROLA[/b][br][i]Publicado en la sección [color=#cc0000]Geometría dinámica y Matemáticas interactivas[/color] de Divulgamat[br][url=https://www.divulgamat.net/divulgamat15/index.php?option=com_content&view=article&id=9982:1-junio-2008-el-cristo-de-la-farola&catid=198:geometrdinca-y-matemcas-interactivas&directory=67]Junio 2008[/url][/i][br][br][b][br]Introducción[br][/b][br]La realidad suele presentar problemas complejos y difícilmente analizables. A lo largo de los siglos, las [br]Matemáticas han demostrado ser una buena herramienta para crear modelos basados en la realidad que permitan el estudio de esos problemas y alcanzar soluciones óptimas. Pero una cosa es adaptar el modelo a la realidad y otra adaptar la realidad al modelo.[br][br]Este artículo se divide en dos partes claramente diferenciadas, expuestas en forma de relato.[br][br]La primera, basada en un ejemplo de José Luis Álvarez García, desarrolla uno de tantos problemas, en realidad “ejercicios” (debido al contexto en el que aparecen), que pueblan los libros de texto habituales en la ESO. [br][br]La segunda parte invita a la profundización del problema en un caso más general. Está pensada para personas con un mayor conocimiento de la geometría del triángulo (bachillerato, universidad), si bien se [br]continúan empleando recursos de geometría elemental.[br][b][br]Objetivo [br][br][/b]Evidentemente, no hemos tratado en estos relatos de exponer [i]demostraciones rigurosas[/i] que, aunque a menudo muy bellas, suelen ser largas y difíciles, sino de mostrar lo que un físico llamaría “leyes” (algo comprobable experimentalmente) con el objetivo de expresar -con cierta vehemencia, eso sí- dos principios:[list][*]El inmenso potencial de los programas de geometría dinámica tanto para el [i]aprendizaje [/i]como para la [i]investigación[/i], si es que existe alguna diferencia sustancial entre ambos términos.[/*][/list][list][*]La posibilidad de investigar sobre muchos problemas que sin este tipo de herramientas serían difícilmente abordables.[br][/*][/list][br]En cuanto a este segundo punto debemos advertir que, siendo cualquier modelo una simplificación, la realidad puede admitir varios modelos distintos, según qué aspectos se obvien y cuáles se consideren. Por ejemplo, el criterio de “maximizar el área iluminada garantizando un mínimo de intensidad”, en el que se basan ambos relatos, podría muy bien ser sustituido por “maximizar la cantidad de luz recibida globalmente por la isleta”, que no es exactamente lo mismo.[br][br]Por último, también suele suceder que “la solución de un problema cambie el problema”. La conclusión de la madre de Irene en el segundo relato no hace sino abrir un mundo de preguntas. ¿Qué pasa si aumentamos el número de lados (un polígono de más de tres lados) o de farolas (varias a la vez iluminan la isleta)? ¿Y si, en ese caso, variamos la altura o intensidad lumínica de cada farola, o si las farolas resultan ser focos direccionables? Etc.[br][br]Sea cual fuere el criterio seguido y las condiciones más o menos generales, siempre deberemos volver a la realidad para cuestionar la idoneidad de las soluciones alcanzadas. ¡No sea que al final montemos un cristo!
Puntos medios (1)
[b]CONJETURAS A PARTIR DE LOS PUNTOS MEDIOS[/b][br][i]Publicado en la sección [color=#cc0000]Geometría dinámica y Matemáticas interactivas[/color] de Divulgamat[br][url=https://www.divulgamat.net/divulgamat15/index.php?option=com_content&view=article&id=9983:2-agosto-2008-conjeturas-a-partir-de-los-puntos-medios&catid=198:geometrdinca-y-matemcas-interactivas&directory=67]Agosto 2008[/url][/i][br][br]En la enseñanza y aprendizaje de la Geometría, es (o debería ser) esencial la experimentación con figuras o situaciones geométricas, el análisis de propiedades, la exploración y la formulación de conjeturas, su comprobación o su rechazo por falta de validez, la generalización a situaciones análogas, etc.[br][br]Para una actividad de ese tipo, los programas de geometría dinámica son una herramienta valiosa no sólo porque permiten construir figuras geométricas con rapidez y precisión sino, sobre todo, porque la misma construcción puede permitir, con sólo un arrastre de ratón, el estudio o la exploración de innumerables ejemplos. [br][br]Esta cualidad permitirá que las experiencias puedan conducir a investigaciones mucho más profundas y ricas que las alcanzables sólo con lápiz y papel.[br][br]Con el siguiente ejemplo, extraído de los "Principios y Estándares para la Educación matemática" del NCTM, pretendemos ilustrar todo lo anterior y reflejar cómo un hipotético grupo de estudiantes podría investigar conjeturas en un entorno de geometría dinámica.[br][br]Se pide a nuestros alumnos que dibujen un triángulo, que construyan otro uniendo los puntos medios de sus lados y que determinen la razón entre las áreas de los dos triángulos, justificando sus conclusiones.
1. Introducción
[b]LA PERCEPCIÓN TRIDIMENSIONAL[br][/b][i]Publicado en la sección [color=#cc0000]Geometría dinámica y Matemáticas interactivas[/color] de Divulgamat[br][url=https://www.divulgamat.net/divulgamat15/index.php?option=com_content&view=article&id=9984:3-octubre-2008-la-percepciridimensional&catid=198:geometrdinca-y-matemcas-interactivas&directory=67]Octubre 2008[/url][/i][b][br][br]Introducción[/b][br][br]La geometría sintética manifiesta su belleza en las relaciones de orden, simetría o regularidad que aparecen en sus construcciones. Pero además, desde la Antigua Grecia, ofrece brillantes ejemplos de cómo aprovechar al máximo recursos relativamente sencillos, ese otro tipo de “belleza” más abstracta e inherente al mundo matemático.[br][br]En este artículo usaremos herramientas muy sencillas. Prácticamente, solo emplearemos un concepto, la semejanza, y un procedimiento, el teorema de Tales. Veremos que con estas simples herramientas podremos ahondar considerablemente en el problema que nos servirá de ejemplo.[br][br]En la sección anterior, [i]Puntos medios[/i], hablábamos de “polígonos generados al unir los puntos medios de otro polígono”. Debido a lo molesto que resultaría repetir constantemnte esta descripción, hemos inventado el término interpoli para referirnos al polígono así creado a partir de otro. Pues bien, mostrábamos en ese artículo cómo una precipitada generalización de la regularidad observada en la proporción de las áreas de un polígono y su interpoli puede conducir a inferir “leyes” falsas. Ahora, en vez de frustrarnos, retomaremos nuestro fracaso para darle la vuelta al problema y alcanzar un resultado general válido.
1. Construir y medir
[b]GEOMETRÍA EN ROSETONES GÓTICOS[/b][br][i]Publicado en la sección [color=#cc0000]Geometría dinámica y Matemáticas interactivas[/color] de Divulgamat[br][/i][i][url=https://www.divulgamat.net/divulgamat15/index.php?option=com_content&view=article&id=10298:4-octubre-2009-geometren-rosetones-gos&catid=198:geometrdinca-y-matemcas-interactivas&directory=67]Octubre 2009[br][br][/url][/i][i]Matemáticas en contextos, actividades motivadoras, aprovechamiento didáctico de las TIC, interdisciplinaridad.[/i] Estas son algunas de las expresiones más utilizadas cuando se habla de mejoras metodológicas en la enseñanza de las Matemáticas.[br][br]Las conexiones entre la Geometría y el Arte son un ámbito que puede resultar muy adecuado para intentar poner en práctica todas ellas.[br][br]En el presente artículo se intenta ejemplificar la utilidad de los programas de Geometría Dinámica (GD), particularmente de [i]GeoGebra[/i], para trabajar la geometría existente en los rosetones presentes en tantos monumentos, especialmente en los claustros y catedrales góticos.[br][br][center][img]https://www.geogebra.org/resource/ys8rhtha/yyMRMyY0kzdNi6WB/material-ys8rhtha.png[/img][/center][br]Muchas de las ideas expuestas son fruto de la lectura del artículo “La motivación de la belleza” de R.E. Ortega, I. Ortega, T. Ortega y C. Crespo (revista [i]Unión [/i]de junio de 2005 [url=http://www.fisem.org/descargas/2/Union_002_005.pdf]www.fisem.org/descargas/2/Union_002_005.pdf[/url])[br][br][br][b]Construir y medir[/b][br][br]Una primera propuesta didáctica puede consistir simplemente en la reproducción o construcción con [i]GeoGebra [/i]de los rosetones de cuatro, de seis o de tres pétalos.[br][br]Se trata de los tipos de rosetón no sólo más sencillos sino también más comunes y más fáciles de encontrar en lugares cercanos, como estos dos próximos a los lugares de residencia de dos de los autores de este artículo:[br][table][tr][td][img]https://www.geogebra.org/resource/ksfcuxbf/V58Nr4uJEt6mBarD/material-ksfcuxbf.png[/img][i][/i][size=85][i][/i][/size][justify][size=85][i]Detalle del cimborrio de la Catedral de Valencia[/i][/size][/justify][/td][td][img]https://www.geogebra.org/resource/cp79rm6u/WkYSO8polUOhsgoh/material-cp79rm6u.png[/img][left][size=85][i]Claustro de la Catedral de Pamplona[/i][/size][/left][/td][/tr][/table]Naturalmente, se trata de exigir que la construcción sea dinámica, es decir, que cuando se modifique la posición o el tamaño de los elementos iniciales toda la construcción mantenga sus proporciones.[br][br]Sólo de ese modo se podrá “resolver” (más bien comprobar la solución decimal) el problema métrico consistente en determinar la razón entre los radios de la circunferencia exterior y las circunferencias tangentes interiores.[br][br]En la siguiente figura interactiva se puede comprobar cuál es el valor decimal de esa razón para el rosetón de 4 pétalos, así como el método constructivo “de dentro hacia fuera”, a partir del cuadrado determinado por los centros de las circunferencias interiores.[br]
Todavía más sencillo que el de 4, resulta construir un rosetón de 6 pétalos, si nos apoyamos en una trama isométrica como la que [i]GeoGebra [/i]facilita.[br][br]Se trata de una actividad asequible para los primeros niveles de Secundaria, en la que se pone de relieve una de las propiedades geométricas más básicas e intuitivas pero que probablemente no es trabajada en las aulas tanto como se merece. Nos referimos a la igualdad entre el lado y el radio de un hexágono regular.[br][br]En esta ocasión, el problema métrico, tras una construcción como la siguiente, se reduce a un “¡Mira!”
En la siguiente construcción, correspondiente a un rosetón de 3 pétalos, se incide en la misma idea de resolver el problema métrico de manera directa (casi podríamos llamarla empírica), utilizando el ordenador como calculadora gráfica, esto es, midiendo tras la construcción exacta.[br][br]De nuevo partimos del polígono regular interior y tomamos los puntos medios de sus lados para construir las circunferencias tangentes.
1. Teoría del color
[b]DE LUZ Y DE COLOR[/b][br][i]Publicado en la sección [color=#cc0000]Geometría dinámica y Matemáticas interactivas[/color] de Divulgamat[br][/i][url=https://www.divulgamat.net/divulgamat15/index.php?option=com_content&view=article&id=10863:5-junio-2010-de-luz-y-de-color&catid=198:geometrdinca-y-matemcas-interactivas&directory=67][i]Junio 2010[/i][br][br][br][/url][b]Propiedad Color Dinámico en GeoGebra[/b][br][br]La propiedad Color Dinámico que poseen los objetos creados con GeoGebra permite visualizar fácilmente lugares geométricos desconocidos, siempre que sepamos expresar la condición que deben cumplir los puntos del mismo.[br][br]Este modo de empleo del color dinámico es realmente potente. Simplemente "barriendo" la pantalla el lugar geométrico aparece, como por arte de magia, ante nuestros ojos.[br][br]Esta propiedad Color Dinámico asigna al objeto tres valores numéricos, cada uno de ellos variable entre 0 y 1, que corresponden a la intensidad de Red, Green y Blue (color RGB) presentes en su color-luz combinado.[br]
En la siguiente tabla se puede apreciar (agrupados por complementarios) el resultado de la elección de algunos colores básicos.[br][br][img]https://www.geogebra.org/resource/esng42uy/Sab5peARmZgW6BTX/material-esng42uy.png[/img][br][br]Cuando el valor numérico "c" no esté entre 0 y 1, GeoGebra sigue la siguiente norma:[br][list=1][*]Si el valor numérico no está entre 0 y 2, toma su resto módulo 2.[/*][*]Si el valor numérico "c" obtenido está entre 1 y 2, toma "2 - c".[/*][/list]O, si se prefiere, sigue la siguiente función:[br][br][center]c(x) = 1 - abs(1 - x + 2 floor(x/2))[/center]cuya gráfica es:[br][br][img]https://www.geogebra.org/resource/pu6gdeq4/V8A8r9ENTnwokLLQ/material-pu6gdeq4.png[/img][br][br]El motivo de este comportamiento es evitar cambios bruscos de color entre dos valores numéricos próximos. Obsérvese el periodo 2.[br][br]Así, si construimos un punto A y una paralela al eje Y que contenga a A y le asignamos a esta recta el color dinámico que denotaremos como RGB = [0, x(A), 0]:[br][br][img]https://www.geogebra.org/resource/hcxeyhbm/bq6mnnmta3nk5qu6/material-hcxeyhbm.png[/img][br][br]entonces, al activar el rastro de la recta y moverla obtendremos una distribución de color que sigue el patrón que muestra la siguiente imagen.[br][br][img]https://www.geogebra.org/resource/ymgndq74/HJTKIrvSh0VX0OG4/material-ymgndq74.png[/img][br][br]Si se quiere evitar la periodicidad, podemos optar por sustituir la expresión x(A) por la expresión e^(-abs(x(A)-1)).[br][br]La gráfica de la función y = e^(-abs(x-1)) es la siguiente:[br][br][img]https://www.geogebra.org/resource/cvdsed64/pDtWj3Y9CD4EpEy5/material-cvdsed64.png[/img][br][br]por lo que al realizar la sustitución obtenemos una distribución de color del siguiente tipo:[br][br][img]https://www.geogebra.org/resource/exjsjrvw/uEu3obFJNP2U5OKJ/material-exjsjrvw.png[/img]