Algebra 2
Table of Contents
- Funciones polinómicas
- Funciones cuadráticas ax^2 +bx+c.
- Función cuadrática con interceptos con el eje x
- Explorando funciones polinómicas
- Razón de cambio: crecimiento y concavidad de las funciones
- Funciones exponenciales
- Funciones exponenciales
- Funciones logarítmicas
- Función Exponencial y su inversa la función logaritmo
- Transformación de funciones
- Traslaciones de gráficas de funciones básicas
- Construcción de la relación inversa de una función.
- Funciones trigonométricas
- Círculo Unitario - Funciones circulares
- Representación de seno, coseno y tangente en el círculo unitario
- Razones trigonométricas en triángulos rectángulos
- Funciones seno y coseno
- Gráficas de las funciones seno, coseno y tangente
- Función cos⁻¹(x)
- Función sen⁻¹(x)
- Función tan⁻¹(x)
- Función secante
- Función cosecante
- Función cotangente
- Traslación de las funciones trigonométricas
- Cambio de escala de las funciones trigonométricas
- Composición de cambio de escala y traslación de funciones trigonométricas
- Solución de triángulos
Funciones cuadráticas ax^2 +bx+c.
[b][size=150][color=#0000ff]En el siguiente applet, puedes visualizar las funciones cuadráticas, dada su ecuación general [/color][color=#ff0000]f(x)= ax[sup]2[/sup] +bx+c[/color][color=#0000ff].[br]Usando los deslizadores, puedes cambiar los valores a, b y c.[/color][/size][/b]
[b][size=150]El dominio de la función [color=#ff0000]f(x)= ax[sup]2[/sup] +bx+c [/color]es:[/size][/b]
[b][size=150]El vértice de la parábola [color=#ff0000]f(x)= x[sup]2[/sup] +6x+5 [/color]es:[/size][/b]
[b][size=150]El vértice de la parábola [color=#ff0000]f(x)= x[sup]2[/sup] +6x-2 [/color]es:[/size][/b]
[b][size=150]El vértice de la parábola [color=#ff0000]f(x)= -3x[sup]2[/sup] +6x+5 [/color]es:[/size][/b]
[b][size=150]El rango de la función [color=#ff0000]f(x)= -3x[sup]2[/sup] +6x+5 [/color]es:[/size][/b]
[b][size=150]El vértice y rango la función [color=#ff0000]f(x)= ax[sup]2[/sup] +bx+c [/color](con a>0) es:[/size][/b]
[b][size=150]El eje de simetría de la parábola [color=#ff0000]f(x)= ax[sup]2[/sup] +bx+c [/color]es:[/size][/b]
[b][size=150]El y-intercepto de la función [color=#ff0000]f(x)= ax[sup]2[/sup] +bx+c [/color]es:[/size][/b]
[b][size=150]¿Para cuáles, de los siguientes valores a, b, c, la función [color=#ff0000]f(x)= ax[sup]2[/sup] +bx+c [/color]no tiene x interceptos?[/size][/b]
Funciones exponenciales
[size=150][b][color=#0000ff][size=200]Funciones exponenciales f(x)=ab[sup]x[/sup][/size][sup][/sup][br]Usando los deslizadores puedes cambiar los valores de a y b[/color][/b][/size]
[b][size=150][color=#0000ff]Dada f(x)= ab[sup]x[/sup], si a=0 o b=0, la función f no es exponencial[/color][/size][/b][br][b][size=150]¿Qué tipo de función es f, [b][size=150]si a=0 o b=0[/size][/b]?[/size][/b]
[b][size=150][color=#0000ff][b][size=150][color=#0000ff]Dada la función exponencial f(x)= ab[sup]x[/sup]. [/color][/size][/b][/color][/size][/b][br][b][size=150]Halla el dominio de f[/size][/b]
[b][size=150][color=#0000ff][b][size=150][color=#0000ff]Dada la función exponencial f(x)= ab[sup]x [/sup][/color][/size][/b][b][size=150][color=#0000ff] con a>0.[/color][/size][/b][/color][/size][/b][br][b][size=150]Halla el rango de f[/size][/b]
[b][size=150][color=#0000ff][b][size=150][color=#0000ff] Dada la función exponencial f(x)= ab[sup]x[/sup]. [/color][/size][/b]Toma valores de a con a<0.[/color][/size][/b][br][size=150][b]Halla el rango de f[/b][/size]
Toma valores de b tales que 0<b<1
[b][size=150][color=#0000ff][b][size=150][color=#0000ff]Dada la función exponencial f(x)= ab[sup]x [/sup] [b][size=150][color=#0000ff]con a>0 y 0[/color][/size][/b][/color][/size][/b][/color][/size][/b][b][size=150][b][size=150]Describe el comportamiento final de la gráfica y determina si es monótona (creciente o decreciente)[/size][/b][/size][/b]
[size=150][b][color=#0000ff][b][size=150][color=#0000ff][b][size=150][color=#0000ff]Dada la función exponencial f(x)= ab[sup]x [/sup] [b][size=150][color=#0000ff]con a>0 y [/color][/size][/b][/color][/size][/b][/color][/size][/b]b>1[/color][/b][/size][br][b][size=150]Describe el comportamiento final de la gráfica y determina si es monótona (creciente o decreciente)[/size][/b]
[color=#0000ff][b][size=150]Dada la función exponencial f(x)=ab[sup]x[/sup] [/size][/b][/color][br][b][size=150]Halla el y-intercepto de f[/size][/b]
[color=#0000ff][b][size=150]Dada [b][size=150]la función exponencial [/size][/b]f(x)=ab[sup]x[/sup] [/size][/b][/color][br][b][size=150]Halla la (s) asíntota(s)[/size][/b]
Función Exponencial y su inversa la función logaritmo
[size=150][b][color=#0000ff][size=200]Funciones exponenciales f(x)=b[sup]x[/sup] y su inversa log[sub]b[/sub]x[/size][br][/color]En este applet, puedes cambiar la base de las funciones, usando el deslizador b[/b][/size]
[size=150][b]Halla el dominio de la función f(x)=b[sup]x[/sup][/b][/size]
[b][size=150]Halla el dominio de la función[/size][/b] [b][size=150]f(x)=log[sub]b[/sub]x[/size][/b]
[size=150][b]Halla el rango de la función f(x)=3[sup]x[/sup][/b][/size]
[b][size=150]Halla el rango de la función[/size][size=150] f(x)=log[sub]3[/sub]x[/size][/b]
[b][size=150][color=#0000ff]Verdadero o Falso[/color][/size][/b][br][b][size=150]Para todo b>0, el y-intercepto de la función[/size][/b] [math]f\left(x\right)=b^x[/math] [size=150][b]es (0,1)[/b][/size]
[b][size=150][color=#0000ff]Verdadero o Falso[/color][/size][/b][br][size=150][b]Para todo b>0, x=0 es una asíntota para la función[/b][/size] [math]f\left(x\right)=b^x[/math]
[b][size=150][color=#0000ff]Verdadero o Falso[/color][/size][/b][br][b][size=150]Para todo b>0, la función[/size][/b] [math]f\left(x\right)=b^x[/math] [b][size=150]es creciente[/size][/b]
[size=150][b][color=#0000ff]Verdadero o Falso[/color][/b][/size][br][b][size=150]Para todo b>0, las funciones[/size][/b] [math]y=log_bx[/math] y [math]y=b^x[/math] [size=150][b]no se intersectan[/b][/size]
Función exponencial y vida media
Traslaciones de gráficas de funciones básicas
[size=100][size=150][color=#0000ff][b]En este applet explorarás las translaciones de las funciones básicas.[br]La translación aplicada a cada función es T(x,y)=(x+h, y+k)[/b][/color][/size][/size]
Selecciona la función cuadrática y mueve los deslizadores h y k, de manera que h tome un valor positivo y k=0
¿Qué relación tienen las gráficas azul y verde? (describe las ecuaciones y la posición de las gráficas)
Selecciona la función cuadrática y mueve los deslizadores h y k, de manera que h tome un valor negativo y k=0
¿Qué relación tienen las gráficas azul y verde? (describe las ecuaciones y la posición de las gráficas)
Selecciona la función cuadrática y mueve los deslizadores h y k, de manera que h=0 y k tome un valor positivo
¿Qué relación tienen las gráficas azul y verde? (describe las ecuaciones y la posición de las gráficas)
Selecciona la función cuadrática y mueve los deslizadores h y k, de manera que h=0 y k tome un valor negativo
¿Qué relación tienen las gráficas azul y verde? (describe las ecuaciones y la posición de las gráficas)[br][br][br]
Selecciona la función valor absoluto y mueve los deslizadoras h y k, de manera que h=0 y k tome un valor positivo
¿Qué relación tienen las[br]gráficas azul y verde? (describe las ecuaciones y la posición de las gráficas)[br][br][br]
Selecciona la función valor absoluto y mueve los deslizadoras h y k, de manera que h=0 y k tome un valor negativo
¿Qué relación tienen las[br]gráficas azul y verde? (describe las ecuaciones y la posición de las gráficas)[br][br][br]
Selecciona la función raíz cuadrada y mueve los deslizadoras h y k, de manera que h=0 y k tome un valor positivo
¿Qué relación tienen las[br]gráficas azul y verde? (describe las ecuaciones y la posición de las gráficas)[br][br][br]
Selecciona la función recíproca de x ( variación inversa) y mueve los deslizadores h y k, de manera que h=0 y k tome un valor positivo
¿Qué relación tienen las gráficas azul y verde? (describe las ecuaciones, la posición de las gráficas y de las asíntotas)[br][br][br]
Selecciona cada función y mueve los deslizadores h y k, observa la función básica y la función azul correspondiente
Recuerda en cada caso los valores h y k están definiendo la traslación T(x, y) = (x+h, y+k)[br]Después de seleccionar las diferentes funciones y diferentes valores de h y k, escribe una conclusión, incluye en tu conclusión:[br]La relación entre la gráfica original (verde) y la gráfica de su traslación (azul)[br]La relación entre la ecuación de la original (verde) y la ecuación de su traslación (azul)[br][br]
Círculo Unitario - Funciones circulares
[size=150][b]En el siguiente applet, encuentras el círculo de centro (0,0) y radio 1, llamado [color=#0000ff]círculo unitario[/color]. [br]El punto P´es la imagen del punto P (1,0), bajo la rotación [i]R[/i] con centro el origen (O) y amplitud [b][size=150]α.[/size][/b] Con el deslizador [b][size=150]α,[/size][/b] puedes cambiar la magnitud del ángulo que determina la rotación [i]R[/i].[/b][/size]
[size=150][b]P´=(x,y), con x>0. ¿En cuál(es) cuadrante(s) se encuentra P´? [/b][/size]
[size=150][b]P´=(x,y), con x>0. ¿En qué intervalo(s) está la medida del ángulo [math]\alpha[/math]? [/b][/size]
[size=150][b]P´=(x,y), con y<0. ¿En cuál(es) cuadrante(s) se encuentra P´? [/b][/size]
[size=150][b]P´=(x,y), con y<0. ¿En qué intervalo(s) está la medida del ángulo [math]\alpha[/math]? [/b][/size]
[size=150][b][b]Para cada número real α, [color=#ff7700] (coseno [/color][color=#ff7700]α, seno α)[/color] [/b]es la imagen del punto P (1,0), bajo la rotación [i]R,[/i] con centro el origen (O) y amplitud α. [br][/b][/size][b][b][size=150]coseno α se escribe en forma abreviada como cos [b][b][size=150]α y seno [b][b][size=150]α como sen [b][b][size=150]α. [br][/size][/b][/b][/size][/b][/b][/size][/b][/b][/size][/b][/b][b][size=150]En el siguiente applet, con el deslizador α, puedes cambiar la magnitud del ángulo que determina la rotación [b][i]R[/i][/b]. [br]En el applet, por comodidad y facilidad para la visualización, los valores de las coordenadas de P y P´ se presentan aproximadas a 3 cifras decimales y el valor [b]α [/b] es un número entero. [/size][/b]
Halla, con aproximación a tres cifras decimales, el valor de:[br]a. cos70° y sen70°[br]b. cos30° y sen30°[br]c. cos150° y sen150°[br]d. cos330° y sen330°
Halla, con aproximación a tres cifras decimales, el valor de:[br]a. cos (-30)° y sen(-30)[br]b. cos(-60)° y sen(-60)°[br]c. cos450° y sen450°[br]d. cos180° y sen180°
[b][size=150][color=#ff0000]Círculo unitario- Ángulos en radianes[/color][br]En el siguiente applet, con el deslizador α, puedes cambiar la magnitud del ángulo en radianes. Los valores dados en fracciones y en raíces, son valores exactos.[br]El deslizador inicia en 0 radianes y permite seleccionar ángulos múltiplos de π/12. [br][b]La imagen del punto P (1,0), bajo la rotación [i]R,[/i] con centro el origen (O) y amplitud α es [br]P´=(cos[b][size=150]α [/size][/b], sen[b][size=150]α[/size][/b])[/b][/size][/b]
[size=150]Halla el valor exacto de:[br]a. cos (π/3) y sen(π/3)[br]b. cos(π/4) y sen(π/4)[br]c. cos(π/6) y sen(π/6)[br]d. cos(π/2) y sen(π/2)[br]e. cos π y sen π[br]f. cos 2π y sen 2π[/size][br]
[size=150]Halla el valor exacto de:[br]a. cos (-π/3) y sen(-π/3)[br]b. cos(-π/4) y sen(-π/4)[br]c. cos(-π/6) y sen(-π/6)[br]d. cos(-π/2) y sen(-π/2)[br]e. cos (-π) y sen (-π)[br]f. cos 2π y sen 2π[/size][br]
[size=150]Halla todos los valores α, tal que cos α= 1/2 y 0 ≤ α ≤ 2π[/size][br]
[size=150]Halla todos los valores α, tal que sen α= -1/2 y 0 ≤ α ≤ 2π[/size][br]
[size=150]Halla todos los valores α, tal que sen α= cos α y 0 ≤ α ≤ 2π[/size][br]