Чудові точки трикутника[br]– точки, місце розташування яких однозначно визначається трикутником, не[br]залежить від його виду та від того, в якому порядку беруться сторони і вершини[br]трикутника.[br][br][br]Нагадаємо, що пряму, що проходить через середину[br]відрізка і перпендикулярна до нього, називають серединним перпендикуляром до[br]відрізка.[br][br][br]
[br][b][i]Навчальне дослідження 1[/i][/b][b].[/b] Дослідіть побудову і[br]зробіть висновки про властивість точок серединного перпендикуляру щодо їх[br]відстані до відрізку. Поясніть, чому точка перетину серединних перпендикулярів,[br]проведених до сторін трикутника, є центром описаного кола трикутника. Це одна з[br]чудових точок трикутника.[br]
Для зручності сприйняття креслення виділіть побудовані об'єкти іншим кольором.
[br][b][i]Навчальне дослідження 2[/i][/b][b]. [/b]Дослідіть[br]побудову і зробіть висновки про властивість точок бісектриси кута щодо їх[br]рівновіддаленості від сторін цього кута. Поясніть, чому точка перетину[br]бісектрис трикутника є центром вписаного кола трикутника[i].[/i][br][br]
[br][br][b][i]Навчальне дослідження 3[/i][/b][b]. [/b]Дослідіть побудову і[br]зробіть висновки про властивості медіани, а саме:[br][br][br]1) Медіана розбиває трикутник на два трикутники однакової площі. [br][br][br]2)Всі медіани трикутника перетинаються в одній точці, яка ділить кожну з них у відношенні[br] 2:1, рахуючи від вершини. Ця точка називається центром ваги трикутника або його[br]центроїдом.[br][br] [br][b][i]Навчальне дослідження 4[/i][/b][b]. [/b]Дослідіть побудову і визначте на скільки трикутників розділяється трикутник своїми медіанами. Які трикутники[br]рівні між собою і чому?[br][br][br]
[br]Точка Торрічеллі – точка трикутника, з якої всі його сторони[br]видно під кутом в 120°. Існує тільки в трикутниках, кожен з кутів яких менше 120°.[br]Збігається з точкою Ферма.[br][br][br]Точка Ферма – точка,[br]сума відстаней від якої до вершин трикутника є мінімальною. Точка Ферма дає[br]вирішення проблеми Штейнера для вершин трикутника.[br][br][br]Геометрично точка Торрічеллі[br]– це перетин трьох кіл, які проходять через вершини зовнішніх трикутників.[br]Зовнішні трикутники – це правильні (рівносторонні) трикутники, побудовані на[br]сторонах основного трикутника зовнішнім чином.[br][br][br]
[br][b][i]Навчальне дослідження 6[/i][/b][b]. [/b]Спробуйте[br]побудувати другу точку Торрічеллі за цим визначенням. Дослідіть властивості[br]точки Торрічеллі: сума відстаней від точки до вершин трикутника мінімальна; всі[br]вершини видно з неї під кутом 120°. Відповідно до визначення точки Торрічеллі,[br]вона може існувати тільки в трикутнику, всі кути якого менше 120°. Дослідіть[br]той факт, що якщо у трикутника один кут буде більше 120°, дана точка буде[br]лежати поза трикутником і втратить свої властивості. При наявності кута,[br]рівного 120°, точка Торрічеллі збігатиметься з однією із вершин трикутника.[br][br]
[br][b][i]Навчальне дослідження 7[/i][/b][b].[/b][br]Дослідіть властивості точки Брокара. Які висновки можна зробити про кути, що[br]формуються відрізком, який з'єднує т. Брокара та прилеглою проти годинникової[br]стрілки стороною трикутника? (Вони завжди рівні і називаються кутами Брокара.)[br][br][br]З якою точкою у[br]правильному трикутнику збігається точка Брокара? (з точкою перетину медіан.)[br][br][br][b][i]Навчальне дослідження 8[/i][/b][b].[/b] Доведіть, що кут[br]Брокара ≥ 30°. В яких випадках він буде дорівнювати 30°?[br][br][br]
[br][b][i]Навчальне дослідження 9[/i][/b][b]. [/b]Відобразіть побудовану[br]раніше точку Лемуана, описане коло, і перевірте, чи дійсно центр описаного кола[br]і точка Лемуана лежать на осі Брокара.[br]