In questo capitolo presenteremo alcune caratteristiche che vengono solitamente analizzate per studiare l'andamento di una funzione; le formuleremo nel linguaggio simbolico matematico, già incontrato in diverse occasioni, così sarà un'opportunità per ripassarlo ed imparare a formulare i concetti in modo rigoroso e sintetico. Coglieremo inoltre l'occasione per fare una carrellata di ripasso delle varie tipologie di funzione studiate finora: per ognuna di esse metteremo un evidenza, tra le caratteristiche che intendiamo approfondire, quella che meglio può essere visualizzata in quella particolare funzione.[br][br][size=150][color=#ff0000]LA FUNZIONE LINEARE (RETTA) - MONOTONIA[br][/color][/size]La prima funzione che abbiamo incontrato è la retta, cioè la rappresentazione di un'espressione di primo grado in [math]\large{x}[/math], solitamente rappresentata nella forma [math]\large{mx+q}[/math]. Nella prossima animazione ripasseremo le caratteristiche della retta e vedremo come si tratti di una funzione [b]monotòna, cioè il cui comportamento è sempre crescente o sempre decrescente[/b].

Una funzione [color=#ff0000][b]monotona non descrescente[/b][/color] segue la condizione[br][br][math]\large{\forall x_1, x_2 \in \mathbb{R}\qquad x_2>x_1 \implies f(x_2) \textcolor{red}{\ge} f(x_1)}[/math][br][br]cioè all'aumentare delle [math]\large{x}[/math], le [math]\large{y}[/math] [color=#ff0000]non calano[/color] (crescono o rimangono costanti).[br][br]Analogamente si può definire una funzione [b]monotona non crescente[/b].[br][br]Un esempio di funzione monotona non decrescente è illustrato sotto.

[b][color=#0000ff]NOTA:[/color][/b] talvolta si trovano definizioni alternative per cui si definisce [color=#0000ff]monotona strettamente crescente[/color] una funzione crescente (quella in cui [math]\large{x_2>x_1 \implies f(x_2) \textcolor{blue}{>} f(x_1)}[/math]) e [color=#ff0000]monotona crescente [non strettamente][/color] una funzione non decrescente per cui [math]\large{x_2>x_1 \implies f(x_2) \textcolor{red}{\ge} f(x_1)}[/math]. [br][br][size=150][color=#ff0000]LA PARABOLA - LIMITATEZZA E PUNTI DI MASSIMO E DI MINIMO[br][/color][/size]Se rappresentiamo sul piano un'espressione di secondo grado otteniamo il grafico di una parabola; la rivediamo nella prossima animazione, in cui ne approfittiamo per introdurre il concetto di [b]LIMITATEZZA[/b] e quello di [b]PUNTO DI MASSIMO (o di MINIMO)[/b].

[color=#0000ff][b]COMPLETIAMO LE DEFINIZIONI[br][/b][/color]Nell'animazione abbiamo visto diversi concetti; aggiungiamo qualche nota per completarli.[br][br]Il vertice della parabola è il suo [b][color=#ff0000]punto di massimo (o minimo) ASSOLUTO[/color][/b], perché la sua immagine è [b]maggiore (o inferiore) di TUTTI gli altri risultati della parabola[/b]. Vedremo che è possibile definire anche un punto di massimo/minimo [i]relativo[/i], che il cui output è superiore (o inferiore) solo ai risultati delle [math]\large{x}[/math] "vicine" a quella del punto.[br][br]I valori maggiori o uguali a tutti gli elementi di un certo insieme si dicono [b][color=#ff0000]maggioranti[/color][/b] di quell'insieme. [br][b][br][color=#0000ff]ESEMPIO:[/color][/b] nella parabola rivolta in basso usata come esempio nell'animazione, tutte le [math]\large{y\ge 4}[/math] sono maggioranti del codominio della parabola (cioè dell'insieme dei suoi risultati). [br][br]Il più piccolo dei maggioranti di un insieme è detto [b][color=#ff0000]massimo[/color][/b] di quell'insieme. [br][br][b][color=#0000ff]ESEMPIO:[/color][/b] nella stessa parabola [math]\large{\textcolor{red}{y_M}=4}[/math] è il massimo del codominio della parabola.[br][br]Nel caso di una funzione, se il massimo [math]\large{\textcolor{red}{y_M}}[/math] del codominio è immagine di un elemento [math]\large{\textcolor{red}{x_M}}[/math] del dominio, cioè [math]\large{\exists \ \textcolor{red}{x_M}\ :\ f(\textcolor{red}{x_M})=\textcolor{red}{y_M}}[/math], allora [math]\large{\textcolor{red}{x_M}}[/math] è detto [b][color=#ff0000]punto di massimo[/color][/b].[br][br][b][color=#0000ff]ESEMPIO:[/color][/b] nella solita parabola [math]\large{\textcolor{red}{x_M}=1}[/math] è il punto di massimo, in quanto il suo risultato è il maggiore di tutti. In generale in una parabola rivolta verso il basso si ha che la [math]\large{x}[/math] del vertice [math]\large{\textcolor{red}{x_M}=-\frac{b}{2a}}[/math] è il punto di massimo [assoluto].[br][br]In modo analogo ovviamente si definiscono i [b][color=#ff0000]minoranti[/color][/b], il [b][color=#ff0000]minimo[/color][/b] ed il [b][color=#ff0000]punto di minimo[/color][/b].[br][br][b][color=#ff0000]ATTENZIONE: l'esistenza di un punto di massimo (o di minimo) NON è sottintesa e garantita, anche se la funzione è limitata superiormente (o inferiormente), come mostra l'esempio qui sotto.[/color][/b]

[color=#0000ff][b]APPLICHIAMO I CONCETTI[br][/b][/color]Concludiamo questa prima parte nel percorso provando ad applicare i concetti visti per verificare se li abbiamo capiti.[br][br][b][color=#0000ff]Intervalli di crescenza/decrescenza[br][/color][/b][color=#ff0000][b]Una parabola NON è una funzione MONOTONA, perché non è sempre crescente o decrescente.[/b][/color][br][br]Tuttavia è possibile definire degli [b]intervalli[/b] in cui la funzione è crescente ed altri in cui è decrescente. Consideriamo ad esempio una parabola rivolta verso l'alto.

Possiamo notare osservando la figura che [b]la funzione è crescente per tutte le [math]\large{x}[/math] "dopo" il vertice[/b], cioè [math]\large{\forall x>x_V}[/math]. La scrittura completa sarà [br][br][math]\large{\forall x_1, x_2 \gt x_V\qquad x_2\gt x_1 \implies f(x_2)\gt f(x_1)}[/math][br][br][per ogni coppia [math]\large{x_1}[/math] e [math]\large{x_2}[/math] maggiori di [math]\large{x_V}[/math], se [math]\large{x_2}[/math] è maggiore di [math]\large{x_1}[/math] (le x crescono) allora [math]\large{f(x_2)}[/math] è maggiore di [math]\large{f(x_1)}[/math] (anche le corrispondenti [math]\large{y}[/math] crescono).[br][br]In modo analogo diremo che le [math]\large{x}[/math] "a sinistra" di [math]\large{x_V}[/math], cioè minori di essa, definiscono [b]un intervallo di decrescenza della funzione[/b]:[br][math]\large{\forall x_1, x_2 \lt x_V\qquad x_2\gt x_1 \implies f(x_2)\lt f(x_1)}[/math]