Через сторону АС треугольника  АВС проведена плоскость а , удаленная от вершины В на расстояние равное 4 см. АС=ВС = 8 см, ∠ABC=2230'. Найдите угол между плоскостями АВС и а .

Решение:[br][math]\Delta ABC-равнобедренный[/math][br][math]\angle ACB=180^\circ-\left(22,5+22,5\right)=135^\circ[/math][br][math]\angle ECB=180^\circ-135^\circ=45^\circ[/math][br][math]\Delta ECB:[/math][br][math]sin\angle ECB=\frac{EB}{BC}\Longrightarrow EB=sin\angle ECB\times BC=sin45^\circ\times8=4\sqrt{2}cm[/math][br][math]\Delta EFB:[/math][br][math]sin\angle FEB=\frac{FB}{EB}=\frac{4}{4\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}[/math][br][math]arcsin\frac{\sqrt{2}}{2}=45^\circ[/math][br][math]\angle FEB=45^\circ[/math]

АBCD - квадрат со стороной, равной 4 см. Треугольник АМВ имеет общую сторону АВ с квадратом; АМ =ВМ= 2[math]\sqrt{6}[/math] см. Плоскости треугольника и квадрата взаимно перпендикулярны. Докажите, что:[br]1) ВС[math]\perp[/math]АМ.[br]2) Найдите угол между МС и плоскостью квадрата.[br]3) Найдите расстояние от точки А  до плоскости DМС.

Решение:[br]1) BC[math]\perp[/math]AM. По теореме о трех перпендикулярах. [br]ME[math]\perp[/math]AB, ME[math]\perp[/math] ABCD[br]2) [math]\bigtriangleup AMB-равнобедренный\Longrightarrow BE=\frac{AB}{2}=\frac{4}{2}=2cm[/math][br][math]\Delta ECB:[/math][br]по т.пифагора[br][math]EC=\sqrt{BE^2+CB^2}=\sqrt{16+4}=2\sqrt{5}cm[/math][br][math]\Delta EMB[/math][br]по т.пифагора[br][math]ME=\sqrt{BM^2-BE^2}=\sqrt{24-4}=2\sqrt{5}cm[/math][br][math]tan\angle MEC=\frac{ME}{EC}=\frac{2\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}=1\Longrightarrow MEC=45^\circ[/math][br]3)[math]\Delta MFE[/math][br]по т.пифагора[br][math]MF=\sqrt{EF^2+ME^2}=\sqrt{16+20}=6cm[/math][br][math]S_{MFE}=\frac{ME\times EF}{2}=\frac{EG\times MF}{2}\Longrightarrow ME\times EF=EG\times MF[/math][br][math]EG=\frac{ME\times EF}{MF}=\frac{2\sqrt{5}\times4}{6}=\frac{4\sqrt{5}}{3}cm[/math][br][br][br]