АВСD - квадрат. Отрезок MD перпендикулярен плоскости АВС. Докажите, что МВ перпендикулярен АС.[br]
Дано, что отрезок MD перпендикулярен плоскости ABC. Если отрезок MD перпендикулярен плоскости ABC, то он перпендикулярен любой прямой этой плоскости. Отрезок AC лежит в плоскости ABC, а значит MD перпендикулярен отрезку AC. [br][br]Отрезок DE принадлежит плоскости MDB и перпендикулярен отрезку AC. ( отрезки AC и BD являются диагоналями квадрата ABCD. Диагонали квадрата пересекаются под углом в 90 градусов)[br][br]И так как отрезки MD и DE лежат в плоскости MDB и перпендикулярны отрезку AC, то и любая прямая/отрезок этой плоскости будет перпендикулярен отрезку AC. Следственно отрезок MB перпендикулярен отрезку AC.[br][br]
АВСD - прямоугольник. Отрезок АЕ перпендикулярен плоскости АВС. ЕВ=15, ЕС=24, ЕD=20. Доказать, что треугольник EDC прямоугольный и найти АЕ.[br][br]
Отрезки DC и AD лежат в плоскости ABC.[br]Так как отрезок AE перпендикулярен плоскости ABC, то он перпендикулярен и любой прямой в этой плоскости, соответственно отрезок AE перпендикулярен отрезку DC.[br]В прямоугольнике пересекающиеся стороны перпендикулярны друг другу, соответственно отрезки DC и AD перпендикулярны. [br]Отрезки AE и AD лежат в плоскости EAD и перпендикулярны отрезку DC. Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны другой прямой, то любые прямые той плоскости будут перпендикулярны этой прямой. Так как отрезок ED лежит в плоскости EAD, два отрезка которой перпендикулярны отрезку DC, то отрезок ED тоже перпендикулярен отрезку DC. Оба этих отрезка являются сторонами треугольника EDC, соответственно треугольник является прямоугольным.[br][br]По теореме Пифагора:[br][math]CD=\sqrt{\left(EC\right)^2-\left(ED\right)^2}[/math][br][math]CD=\sqrt{24^2-20^2}=\sqrt{576-400}=\sqrt{176}=4\sqrt{11}[/math][br]CD=AB[br][br]По теореме Пифагора:[br][math]AE=\sqrt{\left(EB\right)^2-\left(AB\right)^2}[/math][br][math]AE=\sqrt{15^2-\left(\sqrt{176}\right)^2}=\sqrt{225-176}=\sqrt{49}=7[/math][br][br]Ответ: AE=7[br][br]
DABC - тетраэдр, ребро DB перпендикуляро плоскости АВС, угол АСВ равен 90 градусов, ВС=BD, точка F - середина AD. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку F и перпендикулярной CD.