Para un vector [math]\large \vec{u}[/math] las únicas combinaciones lineales son los múltiplos[math]\large c\vec{u}[/math] . Para dos vectores, las combinaciones son [math]\large c\vec{u}[/math] +[math]\large d\vec{v}[/math] Para tres vectores, las combinaciones son [math]\large c\vec{u}[/math]+[math]\large d\vec{v}[/math]+[math]\large e \vec{w}[/math]. haremos el gran paso de una combinación a todas las combinaciones para c, d y e[br]Supongamos que los vectores u, v, w están en un espacio tridimensional:[br][br]1. ¿Cuál es la imagen de todas las combinaciones de [math]\large c\vec{u}[/math]?[br]2. ¿Cuál es la imagen de todas las combinaciones [math]\large c\vec{u}[/math] +[math]\large d\vec{v}[/math]?[br]3. ¿Cuál es la imagen de todas las combinaciones [math]\large c\vec{u}[/math]+[math]\large d\vec{v}[/math]+[math]\large e \vec{w}[/math]?[br][br]Las respuestas dependen de los vectores particulares [math]\large \vec{u}[/math], [math]\large \vec{v}[/math] y [math]\large \vec{w}[/math]. Si fueran el vector cero (un caso muy extremo), entonces cada combinación sería cero. Si son vectores típicos distintos de cero[br](componentes elegidos al azar), aquí están las tres respuestas. Esta es la clave de nuestro tema:[br][br][br]1. Las combinaciones pueden generar una línea a través de (0, 0, 0).[br]2. Las combinaciones cu + dv generan un plano que pasa por (0, 0, 0).[br]3. Las combinaciones cu + dv + ew generan todo el espacio tridimensional.[br][br][br]El vector cero (0, 0, 0) está en la línea porque c puede ser cero. Está en el plano porque c[br]y d podrían ser ambos cero. La línea de vectores [math]\large c\vec{u}[/math] es infinitamente larga (hacia adelante y hacia atrás). Pero es el plano de todos los [math]\large c \vec{u}[/math] +[math]\large d\vec{v}[/math] (combinando dos vectores en el espacio tridimensional) el que es importante que se imagine.