Conseguenze della inversione: problema di Apollonio

Un caso: dati tre cerchi si trovi il cerchio tangente esternamente ai tre cerchi.
Consideriamo tre cerchi di centri A, B, C e supponiamo che il cerchio richiesto [i]U[/i] centro [i]O[/i] e raggio [math]\rho[/math] debba essere tangente esternamente ai tre cerchi dati.[br][br]Incrementando il raggio dei tre cerchi di una quantità [i]d[/i], si avrà come soluzione del nuovo problema un cerchio con lo stesso centro [i]O[/i] e raggio [math]\rho[/math] [i]- d[/i].[br]Sfruttando questo fatto cominciamo la nostra dimostrazione.
Incrementiamo il raggio dei tre cerchi in modo che i cerchi di centri B e C siano tangenti l'uno all'altro in un punto K.[br][br]Applichiamo poi l'intera figura un'inversione rispetto a un cerchio di centro K:[br][list][*][color=#38761d]il cerchio di centro B si trasforma nella retta [i]b'[/i][/color][/*][*][color=#ff00ff]il cerchio di centro C si trasforma nella retta [i]c'[/i][/color][/*][*][i]b'[math]\parallel[/math]c' [/i]perché i cerchi, da cui provengono, si incontrano nel centro di inversione[/*][/list][list][*][color=#f1c232]il cerchio di centro A si trasforma nel cerchio [i]a'[/i][/color][/*][/list]Il [u]cerchio incognito[/u] si trasformerà in un cerchio[i] u[/i] tangente [i]a', b', c':[br][/i][list][*]Il suo[i] [/i][u]raggio[/u][i] r [/i]sarà metà della distanza tra[i] b' e c'[/i][/*][*]Il suo [u]centro[/u] O' sarà una delle due intersezioni della retta che dimezza la striscia determinata da b' e c' con il cerchio di centro A' e di raggio r+s.[/*][/list]Costruendo il cerchio inverso di u con raggio [math]\rho[/math][i]-d[/i] e incrementando il raggio di [i]d[/i], si troverà il cerchio U di Apollonio.

Information: Conseguenze della inversione: problema di Apollonio