Eigentlich fragt man eher selten: [br]Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei 20 mal Würfeln genau 6 mal die Eins fällt?[br]oder[br]Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer Stichprobe von 100 Produkten genau 12 defekt sind?[br][br]Viel öfter möchte man wissen:[br]Mit welcher Wahrscheinlichkeit tritt bei 20 mal Würfeln höchstens 6 mal eine Eins auf?[br]Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind von 100 Produkten weniger als 6 Produkte defekt?[br]Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind von 100 Produkten mindestens 98 Produkte fehlerfrei?[br][br]Um diese Wahrscheinliochkeiten zu berechnen müsste man viele einzelne Binomialverteilungen addieren:[br]Mit welcher Wahrscheinlichkeit tritt bei 20 mal Würfeln höchstens 6 mal eine Eins auf?[br][math]P(20;\textstyle\frac 16; \mathbf{X\leq 6})=P(20;\textstyle\frac 16;\mathbf{ X=0})+P(20;\textstyle\frac 16;\mathbf{ X=1})+ ... +P(20;\textstyle\frac 16; \mathbf{X=6})[/math][br][br]So etwas schreibt man in der Mathematik lieber mit einem [color=#980000][b]Summenzeichen[/b][/color]. Dann würde das so lauten:[br][math]P(20;\textstyle\frac{1}{6};\mathbf{X\leq 6})=\sum\limits_{i=0}^{6} P(n;p;X=i)[/math][br][br]Beim Summenzeichen beginnt man mit dem kleinsten [math]i[/math], setzt es in die Formel hinter dem Summenzeichen ein, schreibt ein [math]+[/math], setzt das nächste [math]i[/math] ein usw. bisman bei der Zahl auf em Szummenzeichen angekommen ist. Ein anderes Beispiel: [math]\sum\limits_{i=4}^{8}i^2= 4^2+5^2+6^2+7^2+8^2[/math][br][br]Damit ist die [br][size=200][color=#980000][b]Kumulierte Binomialverteilung[/b][/color][/size][br][br][math]\text{\Large{\[\boxed{P(n;p;k_1\leq X \leq k_2)=\sum\limits_{i=k_1}^{k_2}P(n;p;X=i) }\]}}[/math][br]

Natürlich gibt es auch für die kumulierte Variante der Binomialverteilung fertige Anweisungen in allen Computer-Algebra-Systemen (CAS):[br][br][size=200]HP-Prime[/size][br][b]kumulierte Binomialverteilung[/b]: [color=#0000ff][b]binom_cdf(n,p,k1,k2)[/b][/color] [Werkzeugkasten(Math)]-[5(Wahrscheinlichkeit)]-[7(Kumulativ)]-[5(Binom)][br][br][size=200]Geogebra[/size][br]Geogebra handhanbt diesen Befehl etwas anders. Hier gibt es nur eine Anweisung für [br][math]P(n;p;X\le k)[/math][br][b]kumulierte Binomialverteilung[/b]: Binomial(n,p,k,true)[br]Das logische "true" am Ende des Befehls bedeutet, dass hier summiert werden soll. Wenn dort "false" steht, dann wird nur die einfache Binomialverteilung bei [math]X=k[/math] berechnet.[br][br]Für [math]P(n;p;k_1\le X\le k_2)[/math] muss also folgendes eingegeben werden:[br][br][color=#0000ff]Binomial(n,p,k2,true)-Binomial(n,p,k1-1,true)[/color][br][br]Man beachte hier, dass im zweiten Term [math]k_1-1[/math] steht, weil die Wahrscheinlichkeit für die Zahl [math]k_1[/math] nicht mit abgezogen werden darf.[br][br][br]Ein Zahlenbeispiel: Mit welcher Wahrscheinlichkeit fällt bei 100 mal Würfeln zwischen 10 und 20 mal die Sechs?[br][b]HP-Prime: [/b][br][color=#0000ff][b]binomial_cdf(100,1/6,10,20)[/b][/color][br][b]Geogebra:[/b][br][color=#0000ff][b]Binomial(100,1/6,20,true)-Binomial(100,1/6,9,true)[/b][/color]