Seja [math]f[/math] uma função definida em algum intervalo aberto que contenha o número [math]a[/math], exceto possivelmente no próprio [math]a[/math]. Então dizemos que o limite de [math]f(x)[/math] quando [math]x[/math] tende a [math]a[/math] é [math]L[/math], e escrevemos[br][br][math]\lim_{x\rightarrow a}f\left(x\right)=L[/math][br][br]se para todo número [math]\varepsilon>0[/math] houver um número [math]\delta>0[/math] tal que[br]se [math]0<|x-a|<\delta[/math] então [math]|f(x)-L|<\varepsilon[/math].[br][br]Observe que [math]|x-a|[/math] é a distância de [math]x[/math] a [math]a[/math] e [math]|f(x)-L|[/math] é a distância de [math]f(x)[/math] a [math]L[/math].[br][br]A construção a seguir representa essa definição, criando faixas em torno de [math]a[/math] (de tamanho [math]\delta[/math]) e de [math]L[/math] (de tamanho [math]\varepsilon[/math]) :[br]

Ao demonstrar afirmações sobre os limites, pode ser proveitoso imaginar a definição de limite como um desafio. Primeiro ela o desafia com um número [math]\varepsilon[/math]. Você deve então ser capaz de obter um [math]\delta[/math] adequado. Você deve fazer isso para todo [math]\varepsilon>0[/math], e não somente para um valor particular de [math]\varepsilon[/math].[br][br]Imagine uma competição entre duas pessoas, A e B, e suponha que você seja B. A pessoa A estipula que o número fixo [math]L[/math] deverá ser aproximado por valores de [math]f(x)[/math] com um grau de precisão [math]\varepsilon[/math] (digamos [math]0,01[/math]). O indivíduo B então responde encontrando um número [math]\delta[/math] tal que, se [math]0<|x-a|<\delta[/math], então [math]|f(x)-L|<\varepsilon[/math] . Nesse caso, A pode tornar-se mais exigente e desafiar B com um valor menor de [math]\varepsilon[/math] (digamos, [math]0,0001[/math]). Novamente, B deve responder encontrando um [math]\delta[/math] correspondente. Geralmente, quanto menor o valor de [math]\varepsilon[/math], menor deve ser o valor de [math]\delta[/math] correspondente. Se B sempre vencer, não importa quão pequeno A torna [math]\varepsilon[/math], então [math]\lim_{x\rightarrow a}f(x)=L[/math].[br][br]Assim, na construção acima escolha primeiramente um valor para [math]\varepsilon[/math] e depois ajuste o valor de [math]\delta[/math] para que o trecho em vermelho da função fique compreendido totalmente dentro da faixa estipulada pelo [math]\varepsilon[/math]. Diminua ao máximo os valores de [math]\varepsilon[/math] e o de [math]\delta[/math], dê zoom para verificar que de fato o trecho vermelho fica compreendido entre as faixas (Lembrando que estar da faixa [math]|f(x)-L|<\varepsilon[/math], significa que a distância da função [math]f(x)[/math] e o número [math]L[/math] é menor do que [math]\varepsilon[/math]).[br][br]Esse processo poderia é infinito, sempre é possível encontrar um valor menor. Mas levando em consideração a limitação do aplicativo não conseguimos escolher valores tão pequenos, então a construção é apenas uma representação da definição.[br][br]Texto adaptado de STEWART, James. [b]Cálculo, volume I[/b]. Tradução: Antonio Carlos Moretti, 2009.