[list][*]Eine[color=#980000][b] ganzrationale Funktion[/b][/color] ist eine Funktion, deren Funktionsgleichung sich schreiben lässt, als [br][math]\text{\large{$f(x)=a_n\cdot x^n+a_{n-1}\cdot x^{n-1}+...+a_2\cdot x^2+a_1\cdot x+a_0$}}[/math][br]Es ist also eine Summe aus mehreren Potenzfunktionen [math]x^i[/math], jeweils multipliziert mit einem [b]Koeffizienten[/b] [math]a_i[/math]. [/*][*]Das [color=#980000][i][b]n[/b][/i][/color], also der [i]höchste Exponent[/i] einer ganzrationalen Funktion, heißt [color=#980000][b]Grad [/b][/color][b]der Funktion[/b]. Man sagt auch die Funktion f ist eine Funktion[b] [color=#980000]n-ten Grades[/color][/b].[/*][*]Der Koeffizient [math]a_n[/math], der vor dem x mit dem höchsten Exponenten steht, heißt [color=#980000][b]Leitkoeffizient[/b][/color].[/*][*]Ein mathematischer Term, der nur aus [b]einer Summe aus Potenzfunktionen mit Koeffizienten[/b] besteht, wird auch [color=#980000][b]Polynom[/b][/color] genannt.[/*][/list][br]

[list][*][math]a(x)=-6x^4+\frac{1}{2}x^5-3x^2+8x-6[/math] ist eine Funktion 5-ten Grades (der Term mit dem höchsten Exponenten muss nicht links stehen. Es ist aber eine gute Sitte, die Terme mit absteigenden Exponenten zu ordnen.) In diesem Beispiel gibt es kein [math]x^3[/math]. Das heißt, dass [math]a_3=0[/math] ist.[/*][*][math]b(x)=\frac{1}{2}\cdot(2\cdot x-4)^2[/math] Dies ist auch eine ganzrationale Funktion, denn wenn man die Klammer ausmultipliziert, dann erhält man [math]b(x)=2x^2+8x+8[/math]. Das ist offenbar eine ganzrationale Funktion 2-ten Grades.[/*][*][math]c(x)=2x^3-6x^2+7x^{-1}+8[/math] Dies ist keine ganzrationale Funktion, weil es einen negativen Exponenten an einem x gibt. Das heißt hier steht ein x im Nenner eines Bruches (weil [math]x^{-1}=\frac{1}{x}[/math])[/*][*][math]d(x)=4=4\cdot x^0[/math] ist eine [b]Funktion nullten Grades[/b]. Eine [color=#1e84cc][i]lineare Funktion[/i][/color] ist eine [color=#1e84cc][i]Funktion ersten Grades[/i][/color] und eine [color=#ff00ff]quadratische Funktion[/color] ist eine [color=#ff00ff]Funktion zweiten Grades[/color].[br][/*][/list]

Der Grad einer ganzrationalen Funktion vermittelt uns viele wichtige Informationen:[br][br][list][*]Eine Funktion[math]n[/math]-ten Grades kann höchstens [math]n[/math] Nullstellen haben.[/*][*]Eine Funktion [math]n[/math]-ten Grades kann höchstens [math]n-1[/math] Extremstellen (also Hoch- oder Tiefpunkte) haben.[/*][*]Eine Funktion [math]n[/math]-ten Grades kann höchstens [math]n-2[/math] Wendestellen haben(Das sind Stellen, an denen sich die Krümmungsrichtung ändert).[/*][*]Eine Funktion [math]n[/math]-ten Grades ist durch [math]n+1[/math] Punkte eindeutig bestimmt (siehe das Geogebra-Arbeitsblatt unten)[/*][/list][br]In der folgenden Animation können Sie oben einen Grad [math]n[/math] einer Funktion einstellen. Darauf erscheinen [math]n+1[/math] Punkte und eine Funktion [math]n[/math]-ten Grades durch diese Punkte. Sie können diese Punkte nahezu beliebig verschieben und erhalten damit immer neu Funktionen. Sie können sich auch die Funktionsgleichungen dazu ansehen: