[size=50][i][b][size=50][right]Diese Aktivität ist eine Seite des [color=#980000]geogebra-books[/color] [url=https://www.geogebra.org/m/xtueknna][color=#0000ff][u]geometry of some complex functions[/u][/color][/url] [color=#ff7700]october 2021[/color][/right][/size][/b][/i][/size][br][size=85]Ein [color=#ff0000][i][b]elliptisches Kreisbüschel[/b][/i][/color] besteht aus allen Kreisen durch [b]2[/b] Grundpunkte, die wir auch [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] nennnen.[br]Die dazu [color=#0000ff][i][b]orthogonalen [/b][/i][/color][color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] bilden das dazu polare [color=#ff0000][i][b]hyperbolische Kreisbüschel[/b][/i][/color].[br]Im Applet oben ist das [color=#0000ff][i][b]Strahlenbüschel[/b][/i][/color] durch [color=#0000ff][b]w[sub]0[/sub][/b][/color] ein [color=#ff0000][i][b]elliptisches Kreisbüschel[/b][/i][/color], der 2. [color=#00ff00][i][b]Brennpunkt[/b][/i][/color] ist [math]\infty[/math]. [br]Die [color=#ff0000][i][b]konzentrischen Kreise[/b][/i][/color] um [/size][size=85][size=85][color=#0000ff][b]w[sub]0[/sub][/b][/color][/size] sind das polare [/size][size=85][size=85][color=#ff0000][i][b]hyperbolische Kreisbüschel[/b][/i][/color].[br]Die [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] entstehen aus den [color=#ff00ff][i][b]achsenparallelen Geraden[/b][/i][/color] als Bilder unter der komplexen Funktion [list][*][math]g(z)=w_0+e^{x+i\cdot y}=e^x\cdot\left(\cos\left(y\right)+i\cdot \sin\left(y\right)\right)[/math] für [math]x=\mathbf{const}[/math] oder [math]y=\mathbf{const}[/math][/*][/list][br]Im Applet unten sind [color=#0000ff][b]w[sub]0[/sub][/b][/color] und [color=#0000ff][b]w[/b][/color][math]_{\infty}[/math] die [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color].[br]Die [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] sind Bilder der [color=#ff00ff][i][b]achsenparallelen Geraden[/b][/i][/color] unter der komplexen Funktion [br][/size][/size][list][*][size=85][math]g\left(z\right)=\frac{w_{\infty}\cdot e^z-s_1\cdot w_0}{e^z-s_1},\mbox{ mit }s_1=\frac{w_1-w_{\infty}}{w_1-w_0}[/math][br][/size][/*][/list]

[size=85]Allgemein sind [color=#ff0000][i][b]Kreisbüschel[/b][/i][/color] und deren [color=#9900ff][i][b]Loxodrome[/b][/i][/color] - also die Kurven, [br] welche die [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] des [color=#ff0000][i][b]Büschels[/b][/i][/color] unter [i][b]konstantem[/b][/i] Winkel schneiden -[br]charakterisiert durch eine [color=#38761D][i][b]Differential-Gleichung[/b][/i][/color] und damit durch ein [color=#274E13][i][b]Vektorfeld[/b][/i][/color] des Typs[br][/size][list][*][math]g'=c\cdot\left(g-f_1\right)\cdot\left(g-f_2\right)\mbox{ mit }f_1,f_2,c\in\mathbb{C}[/math].[br][/*][/list][size=85]Hierbei ist die [color=#274E13][i][b]komplexe Lösungsfunktion[/b][/i][/color] [math]g=g(z)[/math] analytisch, bzw. meromorph. [br]Die Nullstellen [math]f_1,f_2[/math], die wir [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte [/b][/i][/color]nennen, können zusammenfallen ( - dann liegt ein [color=#ff0000][i][b]parabolisches Kreisbüschel[/b][/i][/color] vor - ).[br]Man kann die [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] eines [color=#ff0000][i][b]hyperbolische Kreisbüschels[/b][/i][/color] dynamisch deuten als [i][b]Kreiswellen[/b][/i], die sich von einer [color=#00ff00][i][b]Quelle[/b][/i][/color] aus [br]in Richtung der [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] des [color=#0000ff][i][b]orthogonalen[/b][/i][/color] [color=#ff0000][i][b]elliptischen Kreisbüschel[/b][/i][/color] zur [color=#00ff00][i][b]Senke[/b][/i][/color] bewegen. [br][color=#00ff00][i][b]Quelle[/b][/i][/color] und [color=#00ff00][i][b]Senke[/b][/i][/color] sind die [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] der [color=#980000][i][b]Wellen-Bewegung[/b][/i][/color].[br]Wir nennen diese [color=#274E13][i][b]Vektorfelder[/b][/i][/color] [color=#0000ff][i][b]linear[/b][/i][/color]. [br]Zur Erklärung verweisen wir auf die Darstellung der Möbiusgruppe durch die komplexe spezielle orthogonale Gruppe [b]SO[/b]([b]3[/b],[math]\mathbb{C}[/math])[br]und deren [b]LIE[/b]-Algebra [math]\mathbf{\mathcal{so}\left(3,\mathbb{C}\right)[/math]. [math]\hookrightarrow[/math] [color=#980000][i][b]geogebra-book[/b][/i][/color] [color=#0000ff][i][b]Möbiusebene[/b][/i][/color], speziell das Kap. [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb#chapter/168949][color=#0000ff][u][i][b]Kreisbüschel und lineare Vektorfelder[/b][/i][/u][/color][/url][br][br]Überlagert man 2 solcher [color=#274E13][i][b]Vektorfelder[/b][/i][/color], so entstehen "[color=#ff7700][i][b]quadratische Vektorfelder[/b][/i][/color]", deren [color=#9900ff][i][b]Lösungskurven[/b][/i][/color] [color=#6aa84f][i][b][br]konfokale[/b][/i][/color] [color=#ff7700][i][b]Kegelschnitte [/b][/i][/color]oder [color=#6aa84f][i][b]konfokale[/b][/i][/color] [color=#ff7700][i][b]bizirkulare Quartiken[/b][/i][/color] sein können. [br][color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] sind die Nullstellen der [color=#274E13][i][b]linearen Vektorfelder[/b][/i][/color].[br]Die Lösungskurven sind in diesen Fällen [color=#0000ff][i][b]Winkelhalbierende[/b][/i][/color] der sich schneidenden [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] aus den beiden [color=#ff0000][i][b]Kreisbüschel[/b][/i][/color].[br][br]links: [br][math]\hookrightarrow[/math] [color=#980000][i][b]geogebra-book[/b][/i][/color] [color=#0000ff][u][i][b][url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb]möbiusebene[/url][/b][/i][/u][/color][br][math]\hookrightarrow[/math] [/size][size=85][size=85][color=#980000][i][b]geogebra-book[/b][/i][/color][/size] [color=#0000ff][u][i][b][url=https://www.geogebra.org/m/fzq79drp]Leitlinien und Brennpunkte[/url][/b][/i][/u][/color][br][br][/size]