De la producción de envases metálicos en una fabrica, se[br]sabe que el 3% son defectuosos. ¿Cuál es la probabilidad de que una muestra de[br]siete envases:[br][br][br]a)     Por lo menos tres sean buenos       [br][br][br]

[br]Para calcular esto, primero calcularemos la probabilidad de que ninguno, uno o dos sean buenos, y luego[br]restaremos ese resultado de 1 para obtener la probabilidad de que por lo menos tres sean buenos.[br]Probabilidad de que ninguno sean buenos (0 buenos):[br]P(0 buenos) = (7 choose 0) * (0.03^0) * (0.97^7)[br]P(0 buenos) = 1 * 1 * 0.97^7 ≈ 0.9123933[br]Probabilidad de que exactamente uno sea bueno (1 bueno):[br]P(1 bueno) = (7 choose 1) * (0.03^1) * (0.97^6)[br]P(1 bueno) = 7 * 0.03 * 0.97^6 ≈ 0.0823789[br]Probabilidad de que exactamente[br]dos sean buenos (2 buenos):[br]P(2 buenos) = (7 choose 2) * (0.03^2) * (0.97^5)[br]P(2 buenos) = 21 * 0.0009 * 0.97^5≈ 0.0048525[br]Ahora, calculamos la probabilidad[br]de que por lo menos tres sean buenos:[br]P(al menos 3 buenos) = 1 - [P(0[br]buenos) + P(1 bueno) + P(2 buenos)][br]P(al menos 3 buenos) ≈ 1 - (0.9123933 + 0.0823789 + 0.0048525)[br]P(al menos 3 buenos) ≈ 1 -0.9996247[br]P(al menos 3 buenos) ≈ 0.0003753[br]La probabilidad de que por lo menos tres de los siete envases sean buenos es aproximadamente 0.0003753.[br][br][br]

De manera similar, calculamos la probabilidad de que por lo menos tres sean defectuosos:[br]Probabilidad de que ninguno sean defectuosos (0 defectuosos):[br]P(0 defectuosos) = (7 choose 0) * (0.03^0) * (0.97^7)[br]P(0 defectuosos) ≈ 0.9123933[br]Probabilidad de que exactamente uno sea defectuoso (1 defectuoso):[br]P(1 defectuoso) = (7 choose 1) * (0.03^1) * (0.97^6)[br]P(1 defectuoso) ≈ 0.0823789[br]Probabilidad de que exactamente dos sean defectuosos (2 defectuosos):[br]P(2 defectuosos) = (7 choose 2) * (0.03^2) * (0.97^5)[br]P(2 defectuosos) ≈ 0.0048525[br]Ahora, calculamos la probabilidad de que por lo menos tres sean defectuosos:[br]P(al menos 3 defectuosos) ≈ 1 - (P(0 defectuosos) + P(1 defectuoso) + P(2 defectuosos))[br]P(al menos 3 defectuosos) ≈ 1 - (0.9123933 + 0.0823789 + 0.0048525)[br]P(al menos 3 defectuosos) ≈ 1 - 0.9996247[br]P(al menos 3 defectuosos) ≈ 0.0003753[br]La probabilidad de que por lo menos tres de los siete envases sean defectuosos es también aproximadamente 0.0003753.[br]En ambos casos, la probabilidad es muy baja, ya que la tasa de defectuosos es baja en la muestra.[br]