[b][size=100][size=150][b][size=100][size=150][b][size=100][size=150][color=#999999]このページは電子ブック「[i][url=https://www.geogebra.org/m/vffm84sw]探求　数学[/url]Ⅰ」の一部です[/i]。[/color][br][/size][/size][/b][/size][/size][/b][br]＜２次方程式（一般形）をグラフ的に解く＞[br][/size][/size][/b]一般的な２次方程式ax[sup]2[/sup]+bx+c=0の解は、[color=#0000ff]２次関数（y=f(x)）とｘ軸（y=０）の一致[/color]。[br]yが一致するのは２次関数のグラフとｘ軸が[color=#0000ff]交わる[/color]とき。[br]だから、２次関数のグラフとｘ軸の[color=#0000ff][u][b]交点のｘ座標は２次方程式f(x)=0の解[/b][/u][/color]となる。[br][color=#0000ff][b][size=150]一般形f(x)=ax[sup]2[/sup]+bx+c=0の解はa,b,cが＝０かどうかで場合わけが必要。[br][/size][/b][/color]・a=0ならf(x)=0は２次方程式ではない。[br]　a=b=c=0なら、y=f(x)=0は、ｘ軸そのものになるから[u]ｘは任意の実数[/u]。[br]　a=b=0で、c=0でないときは、y=cはｘ軸との交点はないので、[u]解なし[/u]。[br]　a=0だが　b=0でないなら、f(x)=bx+cとなる。bx+c=0となる[u]解はｘ＝-c/b[/u]。[br]・a≠0なら、f(x)は2次方程式になる。[br]　解の公式の[color=#0000ff][b]ルートの中の部分（判別式）[size=150]D＝b[sup]2[/sup]-4ac[/size][/b][/color]が「正、０、負」の３通りに応じて、[br]　実数解の個数は順に「２，１，０」個と判別できる。[br]　Dが正なら公式の「±√D」部分の±が生きて２個解だできる。D=0なら±の効果がないから解が１個。[br]　Dが負ならそもそも√負は実数ではないから０個。[br]　グラフ的にはｘ軸との交点数が「２，１，０」個で、[br]　２つのグラフは「２点で交わる、接する、離れる」となる。[br]　２次方程式[b][size=150][color=#0000ff]ax[sup]2[/sup]+ｂx+c=0[/color][/size][/b]の解の公式の確認。 [br]　 ・一般に、x=[color=#0000ff][b][size=150]（-ｂ±√D)/(2a)[/size][/b][/color][br] 　・特別に１次の係数が偶数ｂ=2[i][b]bなら[/b][/i]、[u]D=(2[b][i]b[/i][/b])[sup]2[/sup]-4ac=4([i][b]b[/b][/i][sup]2[/sup]-ac) だから、[/u][color=#0000ff][u]D/4=[i][b]b[/b][/i][sup]2[/sup]-ac=[/u][/color][i][color=#0000ff][u]d[/u][/color]とすると、[/i][u]D[/u][i][u]=4d[br][/u] だから、[color=#0000ff]√D=√(4d)=2√d[/color][br][/i] 　x=[size=150][size=100][u]（-b±√D)/(2a)=（-2[i][b]b[/b][/i]±2√[i][b]d[/b][/i])/(2a)=2(-[b][i]b[/i][/b][/u][u]±√[i][b]d[/b][/i])/2(a)[/u]=[/size][/size][color=#0000ff](-[b][i]b[/i][/b]±√[i][b]d[/b][/i])/a[/color][size=150][size=100][br] この公式を使うには、１次の係数ｂを２で[u]割ったものを[b][i]b[/i][/b]とし、他のa,cはそのまま使うこと。[br][/u]　　慣れが少し必要な人もいるでしょう。機械的に暗記が得意な人以外は覚えてもよい。[br]　　ｂを２で割ると√の中の判別式をD/4とし、他は分母分子とも２で約せたストーリーを思い出そう。[br]　・そもそも解の公式を忘れたとしても、[color=#0000ff][b]平方完成[/b][/color]（一次の係数ｂを２で割り平方を作る。平方を展開して増える、数の２乗を取り除く項をたす）を実行すればよい。[br][br][/size][/size][color=#0000ff]（例）[br][/color]　[math]y=\left(x-3\right)\left(x-2\right)=x^2-5x+6[/math]はｘ＝３，２のとき０[br]　グラフとｘ軸との交点のｘ座標は[math]\left(x-2\right)\left(x-3\right)=0[/math]の解でx＝2,3。[br][color=#0000ff]（例）[br]　[math]y=x^2+5[/math]は常に正。[/color][br]　グラフとｘ軸は交わらないので、[math]x^2+5=0[/math]の解はなし。[br][color=#0000ff]（例）[br][/color]　[math]y=\left(x-3\right)^2[/math]はｘ＝３のときだけ０でそれ以外は正。[br]　グラフとｘ軸は(3,0）で接する。[math]\left(x-3\right)^2=0[/math]の解はx=3（重複解）[br][color=#0000ff]（例）[br][/color]　「f(x)=x[sup]2[/sup]+(k-4)x-2=0、g(x)=x[sup]2[/sup]-2x-k=0が１つだけ実数解を共有するときのk」の値は？[br]　y=f(x)とy=g(x)のグラフの交点のｘ座標を求める。[br]　k=2だとグラフが同一となり共有解が２個になるからダメ。[br] 関数を定数倍したy=p・f(x)+q・g(x)も、ｘ軸との交点の位置は変わらない。[br]　だから、y=f(x)-g(x)という関数は共有解のｘ座標を通る。そのｘ座標で２式の両辺の差も０になる。[br]　(k-4+2)x-2+k=0 (k-2)x+(k-2)=(k-2)(x+1)=0。[br]　ｋ≠2だから、x=-1が共有解。１つの式に代入すると(-1)[sup]2[/sup]-2(-1)=k=3[br][b][size=150]＜２次方程式の解の個数＞[/size][/b][br]２次関数y＝f(x)のグラフをかくには、[br]・f(x)=0の左辺を[color=#0000ff][b]平方完成して頂点[/b][/color]を求めたり、[br][color=#0000ff][b]・因数分解したり、[br]・２次方程式の解の判別式[/b][/color]を使おう。[br][br]そうすれば、ｘ軸との交わる点の個数や座標がわかる。[br][color=#0000ff]（例）[/color]「ｙ=x[sup]2[/sup]-3x+2の解の個数」は？[br]・平方完成[math]y=x^2-3x+2=\left(x-\frac{3}{2}\right)^2+2-\left(\frac{3}{2}\right)^2=\left(x-\frac{3}{2}\right)^2-\frac{1}{4}[/math]から頂点[math]x＝\frac{3}{2}でy＝-\frac{1}{4}[/math]。[br]　２実数解。[br][color=#0000ff]・[/color]因数分解[math]y=x^2-3x+2=\left(x-2\right)\left(x-1\right)[/math]からｘ軸と２点(1,0),(2,0)で交わる。[br][color=#0000ff]・[/color]解の判別式[math]D=\left(-3\right)^2-4\cdot1\cdot2=1>0[/math]から２実数解。[br][br][color=#0000ff]（例）[/color]「２次方程式x[sup]2[/sup]-4x+k＝０の解の個数」は？[br]左辺をｙ＝ｘの２次関数として、グラフの概形を利用しよう。[br][math]y=x^2-4x+k=\left(x-2\right)^2+k-4[/math]から頂点の座標は(2,k-4)で下に凸。[br]・k-4<0なら交点が２つあり２実数解。[br]・k-4=0でｘ軸に接するから重解。[br]・k-4>0ならｘ軸から離れているので解なし。[br][br]・判別式D=[math]\left(-4\right)^2-4\cdot1\cdot k=16-4k=4\left(4-k\right)[/math]からも[br]4-kと0との大小比較で解の個数（交点数）が出せるね。[br][br][b][size=150]＜解の範囲＞[/size][/b][br]ｘについての２次方程式が実変数ｍを持つとき、解はすべての実数になるとは限らない。[br]実数解を持てる範囲は判別式Dが非負になることである。[br]変数や関数に最大・最小があるのは、グラフにしたときの図形に端になる点があるということである。[br]２変数の２次曲線ならば、放物線、双曲線、円、楕円を[br]移動したり、回転した曲線を軸と垂直に動かすと、[br]存在する範囲がすべての実数ではなく、際になる位置があるというこことだね。[br][color=#0000ff]（例）[br][/color]「x[sup]2[/sup]+y[sup]2[/sup]=1を満たす実数ｘ，ｙについてk=x+2y[sup]2[/sup]の範囲」は？[br]関係式からｘの変域をもとめ、関係式からｋをｘの２次関数にしよう。[br] y[sup]2[/sup]=1-x[sup]2[/sup]は０以上。ｘ2は１以下だから、ｘは−１以上１以下。[br]　k(x)=2-2x[sup]2[/sup]+x=-2x[sup]2[/sup]+x+2は上に凸で軸がx=1/4.k(1/4)=-1/8+1/4+2=17/8が最大値[br] 軸がｘの変域の右よりだから、最小値は左の際k(-1)=-2-1+2=-１。だから、kは−１以上17/8以下。[br][color=#9900ff]（参考）[/color][br]　ｘ，ｙの２次式だから２次曲線どうしの交点の問題でもあるね。１つは円で、１つは放物線。[br]　円は固定だが、放物線はｋ（ｘ＝０のときのｙだからｙ切片）の値で平行移動する。[br]　交点が存在するように移動したときのｋの値の範囲を求めている。[br][color=#0000ff]（例）[/color][br]「xの２次方程式x[sup]2[/sup]+2mx+4m[sup]2[/sup]+2m=0の実数解xの存在範囲」は？[br]　ｘが実数だから、D/4=m[sup]2[/sup]-(4m[sup]2[/sup]+2m)=-3m[sup]2[/sup]-2m=-3m(m+2/3)>=0 mは-2/3以上と０以下。[br]　ｍについて整理して、4m[sup]2[/sup]+2(x+1)m+x[sup]2[/sup]=0がmの２次方程式とみたとき、mの実数解条件は[br] D/4=(x+1)[sup]2[/sup]-4x[sup]2[/sup]=-3x[sup]2[/sup]+2x+1=-(3x[sup]2[/sup]-2x-1)=-(3x+1)(x-1)>=0 xは-1/3以上１以下。[br][color=#9900ff] （参考）[/color][br]　ｘでもｍでも２次式だから楕円関係になる。[br]　ｘｍ平面にグラフをかくとｘの変域が-1/3以上１以下となり、[br]　ｍの変域が-2/3以上０以下となるということは楕円を回転した２次曲線と推測できる。[br]　x[sup]2[/sup]+2mx+4m[sup]2[/sup]+2m=0は 　M=m+1/4、X= x-1/4などとおくと、[br]　X[sup]2[/sup]+2XM+4M[sup]2[/sup]+3/16=0となる。原点を中心に θ回転すると係数がp,q,rになったとすると、[br]　px[sup]2[/sup]+qxy+ry[sup]2[/sup]=sとおける。そこでq=0となれば楕円の一般形になる。[br]　cosθ＝C,sinθ=Sとおくと、X=Cx+Sy, M=-Sx+Cyを代入[br]　[math](Cx+Sy)^2+2(Cx+Sy)(-Sx+Cy)+4(-Sx+Cy)^2+3/16[/math] [math]=(C^2-2CS+4S^2)x^2+\left(-6CS+2\left(C^2-S^2\right)\right)xy+(S^2+2CS+4C^2)y^2+3/16[/math][br]q=-6CS+2(C[sup]2[/sup]-S[sup]2[/sup])=-3sin2θ+2cos2θ=0とすると、sin2θ/cos2θ=2/3=tan2θとなる。

[size=150][b]＜ｘ軸と２点で交わるグラフ＞[br][/b][/size]２次関数y=f(x)=(x-a)(x-b)で、bがaより大とする。[br]・２次方程式の場合[br]　f(x)=0はfがx軸と交わるとき。ｘ＝a,bが解（異なる２実数解）[br]・２次不等式の場合[br] f<0はfがx軸より下。xはaとbの間の実数が解[br] f>0はfがx軸より上。xはaより小かbより大が解[br][size=150][size=100][color=#0000ff]（例）[/color]「[/size][math]y=f\left(x\right)=x^2-4x-a^2+4a[/math][size=100]とするとき、f(-1)<0となるaの範囲」は？[br]f(-1)はaの２次関数になるから、それが負になる範囲を求めればよいね。[br][math]f\left(-1\right)=5-a^2+4a=-\left(a^2-4a-5\right)=-\left(a-5\right)\left(a+1\right)<0[/math][/size][size=100]から、[br][math]\left(a-5\right)\left(a+1\right)>0[/math][/size][size=100]。解は、a<-1,5＜a[br][/size][/size][size=150][b]＜ｘ軸と接するグラフ＞[br][/b][/size]２次関数y=f(x)=(x-a)[sup]2[/sup]する。[br]・２次方程式の場合[br]　f(x)=0はfがx軸と交わるとき。ｘ＝a（ただ１つの実数解（重複解））[br]・２次不等式では、[br]　f<0はfがx軸より下。xはaとaの間で、解なし。[br]　f>0はfがx軸より上。xはaより小かaより大。つまり、ｘはa以外のすべての実数が解[size=150][b][br]＜ｘ軸からはなれている＞[br][/b][size=100]２次関数を、b>0でf(x)=(x-a)[sup]2[/sup]+bとする。[br]・２次方程式の場合[br][/size][/size]　f(x)=0はfがx軸と交わるときで、実数解なし。[br]・２次不等式では、[br]　f<0はfがx軸より下で、解なし。[br]　f>0はfがx軸より上で、[u]ｘはすべての実数が解[/u]。[br][br][color=#0000ff]（例）[br][/color]「[math]y=f\left(x\right)=x^2+\left(2k+t+1\right)x+\left(kt+6\right)=0[/math]が[math]-1\le t\le1[/math]に対して実数解xがあるkの範囲」は？[br]判別式がｔの２次関数D(t)となりｔの変域に軸があるなら頂点のDを非負にするｋの範囲を求めよう。[br]解xの判別式D＝[math]\left(2t+k+1\right)^2-4\left(kt+6\right)=4t^2+4t+k^2+2k-23=\left(2t+1\right)^2+k^2+2k-24\ge0[/math][br]これをtの２次関数としてみると、t＝-1/2が軸になり、tの変域でD(-1/2)=k[sup]2[/sup]+2K-24が最小値になる。[br]この値が０以上なら、Dはtの変域でつねに０以上となり、実数解ｘがある。[br][math]k^2+2k-24=\left(k-4\right)\left(k+6\right)\ge0[/math]。kの２次不等式とみてkの範囲は−６以下か４以上。[br][color=#0000ff]（例）[br][/color]「[math]y=f\left(x\right)=x^2-2ax+a+2>0[/math] が[math]-2\le x\le1[/math]で成り立つようなaの範囲」は？[br]f(x)=(x-a)[sup]2[/sup]-a[sup]2[/sup]+a+2の最小値m(a)はaが-2以上１以下なら-a[sup]2[/sup]+a+2=-(a[sup]2[/sup]-a-2)=-(a-2)(a+1)>0ではaは-1と2の間。[br]だから、aは−１より大で１以下（A）。[br]a<-2なら、m(a)=f(-2)=4+4a+a+2=5a+6>0、a>-6/5となり範囲外。[br]a>1ならm(a)=f(1)=1-2a+a+2=3-a>0、a<3となり範囲の中ではaは１と３の間（B)。[br]AとBをあわせて、aの範囲は−１と３の間。

２次方程式f(x)=[b][size=150]ax[sup]2[/sup]+bx+c=0(a≠0)の２つの実数解があるとき、それをα、βとしよう。[br][/size][/b]２実数解を持つなら、判別式D=b[sup]2[/sup]-4ac＞０[br]・f(x)=a(x-α)(x-β)と因数分解でき、ｘ軸との交点が[b]A(α,0),B(β,0)[/b]となる。[br]　展開してaで係数を割ると、x[sup]2[/sup]-(α+β)x+αβ=x2+(b/a)x+(c/a)となる。[br]　これから、係数比較して、[color=#0000ff][b]-b/a=α+β, c/a=αβ[/b][/color]（[color=#0000ff][b]解と係数の関係[/b][/color]）[br]　解と係数の関係では、[b]１次の係数をマイナスして解の和とする[/b]のを忘れやすいので注意しよう。[br]・また、[b]AB[/b]＝|β-α|=|(-b+√D)/(2a)-(-b-√D)/(2a)|=|1/(2a)(2√D)|=[b]√D/|a|[/b][br]　特にa=1ならば、AB=√Dとなる。[br]・２次関数の軸は２つのABの中点(m,0)を通るから[b]m=(α+β)/2[/b]=-b/a・1/2[br] ２次関数の頂点は[b]f(m)=-D/(2a)[sup]2[/sup][/b][br][color=#0000ff]（理由）[/color][br]　解の公式x=[size=150][size=100]（-ｂ±√D)/(2a) を逆にもどしてみよう。x= -b/(2a) ±√D/(2a)[br][/size][/size] (x+b/(2a))=±√D/(2a) (x+b/(2a))[sup]2[/sup]=D/(4a[sup]2[/sup]) f(x)=(x+b/(2a))[sup]2[/sup]-D/(4a) =0[br]　これから、f(m)=-D/(2a)[sup]2 [/sup][br][color=#0000ff]（例）[/color]「２次関数y=x[sup]2[/sup]-4x-3がｘ軸を切り取る線分の長さと頂点の座標」は？[br]　D＝(-4)[sup]2[/sup]-4・(-3)=16+12=28。[br] ２解の差AB=√D=2√7。[br]　m=(α+β)/2=-(-4)/2=2。f(m)=f(2)=4-8-3=-7。（または、-28/2[sup]2[/sup]=-7）[br][color=#0000ff]（例）[/color]「連立方程式x[sup]2[/sup]+xy+y[sup]2[/sup]=7, xy+x+y=-5の解」は？[br]　x+y=p, xy=qとすると、x,yは２次方程式t[sup]2[/sup]-pt+q=0の解である。[br]　x[sup]2[/sup]+xy+y[sup]2[/sup]=p[sup]2[/sup]-q=7、p+q=-5。両辺の和は、p2+p-2=(p-1)(p+2)=0。p=1,-2。q=-5-1=-6, q=-5+2=-3[br]　(p,q)=(1,-6)ならt[sup]2[/sup]-t-6=(t-3)(t+2)=0。(x,y)=(3,-2),(-2,3)。[br]　(p,q)=(-2,-3)ならt[sup]2[/sup]+2t-3=(t+3)(t-1)=0。(x,y)=(-3,1),(1,-3)。[br][color=#9900ff]（参考）[br][/color]　ｘ、ｙともに２次式でｘｙの項があるので楕円を回転したもの。[br]　また、ｘとｙの単独の２次項はないが、ｘｙの項があり２次だから２次曲線になる。[br]　式変形すると双曲線となるだろう。楕円と双曲線の交点は最大で４個ある。[br]（例）「ｘ[sup]2[/sup]-2xy+2y[sup]2[/sup]=1を満たす実数ｘ，ｙでｘ＋ｙの範囲」は？[br]　　x+y=kとおくと、y=k-xとなり、ｘｙ関係式に代入して陰関数の形にすれば、ｘの２次式の問題。[br]　　関数で解くなら頂点と変域から、方程式が実数解をもつ判別式から解けるね。[br]　　f(x)=x[sup]2[/sup]-2x(k-x)+2(k-x)[sup]2[/sup]-1=x[sup]2[/sup]-2kx+2x[sup]2[/sup]+2k[sup]2[/sup]-4kx+2x[sup]2[/sup]-1=5x[sup]2[/sup]-6kx+2k[sup]2[/sup]-1=0[br] D/4=9k[sup]2[/sup]-5(2k[sup]2[/sup]-1)=-k[sup]2[/sup]+5>=0 だから、k2-5=(k+√5)(k-√5)<=0で　ｋは-√5以上√5以下。[br][color=#9900ff]（参考）[br][/color]　ｘ，ｙともに２次でｘｙ項もあるから楕円を回転したもの。[br]　ｘ＋ｙ＝ｋはｙ切片がｋの直線だ。だから、楕円と共通点があるようにｋを動かせばよいね。