Zu 4 Geraden, von denen keine 3 durch einen gemeinsamen Punkt gehen, und einem vorgegebenen Punkt gibt es stets [b][i]zwei[/i][/b] Kegelschnitte durch diesen Punkt, welche die 4 Geraden berühren.[br]Liegt der Punkt auf einer der 4 Geraden, so fallen die beiden Kegelschnitte zusammen.[br]Auch hier gibt es [i]nicht-reelle[/i] Lösungen.[br][br]Sie können sich die Kegelschnitt-Schar, welche durch die 4 Geraden festgelegt ist, anzeigen lassen und mit dem Schieberegler [math]\lambda[/math] erforschen. Zu jeder Geraden durch [b]P[/b] gibt es genau einen Kegelschnitt, welcher diese Gerade und die 4 vorgegebenen Geraden berührt. Zwei dieser Kegelschnitte besitzen [b]P[/b] als Berührpunkt.[br][br][i][b]Wie konstruiert man so was?[/b][/i][br][size=85]5 Geraden bestimmen einen Kegelschnitt mit diesen Tangenten - falls sie sich in allgemeiner Lage befinden. Die Geraden durch [b]P[/b] kann man linear beschreiben: [math]g_{\lambda}=\lambda\cdot g_1+\left(1-\lambda\right)\cdot g_2[/math] mit zwei verschiedenen [/size][size=85][size=85]Geraden [/size] [math]g_1[/math] und [math]g_2[/math] durch [b]P[/b]. Normalerweise besitzt ein Kegelschnitt, der eine solche Gerade berührt, [i][b]zwei[/b][/i] Tangenten, die durch [b]P[/b] gehen. Will man sie berechnen, so muss man eine quadratische Gleichung lösen: da hilft die [math]p-q[/math]-Formel, welche zum Glück noch zum Schulstoff gehört! Wenn es nur [i][b]eine[/b][/i] Tangente an einen solchen Kegelschnitt gibt, der durch [b]P[/b] geht, so ist [b]P[/b] Berührpunkt, somit liegt [b]P[/b] auf diesem Kegelschnitt. [br]Eine quadratische Gleichung hat bekanntlich nur dann [i][b]nur eine[/b][/i] Lösung, wenn die Diskriminante verschwindet: [math]\Delta=\left(\frac{p}{2}\right)^2-q=0[/math].[br]In dieser Diskriminante kommt [math]\lambda[/math] quadratisch vor: die gesuchten [math]\lambda[/math]'s sind also Lösungen einer quadratischen Gleichung, die man glücklicherweise sofort mit der [math]p-q[/math]-Formel direkt ausrechnen kann.[br][br][size=50]Dieses Arbeitsblatt ist Teil des Geogebrabooks [url=https://www.geogebra.org/m/mQgUFHZh]Kegelschnitt-Werkzeug[/url]e[/size][br][/size]