[img]https://www.ecured.cu/images/b/b5/Gauss1.jpg[/img][img]https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/b3/Camille_Jordan_3.jpg[/img]

Los sistemas de ecuaciones lineales se encuentran en el corazón del álgebra lineal, y este capítulo los usa[br]para introducir algunos de los conceptos centrales del álgebra lineal de una manera simple y concreta.[br]ajuste. Se presenta un método sistemático para resolver sistemas de ecuaciones. Este algoritmo se utilizará para cálculos a lo largo del texto, luego se muestra cómo un sistema de ecuaciones lineales es equivalente a una ecuación vectorial y una ecuación matricial. Esta equivalencia reducirá los problemas que involucran combinaciones lineales de vectores a preguntas sobre sistemas de ecuaciones lineales,es te capítulo jugará un papel esencial a lo largo del texto mientras exploramos la belleza y poder del álgebra lineal.[br][br]Comencemos con dos ecuaciones extremadamente simples, reconociendo que el lector puede resolverlas sin necesidad de tomar un curso de álgebra lineal:[br][center][br][math][br]\large [br]2x-y=1 \\[br]\large [br]x+y=5[/math][br][/center][br]Este sistema puede abordarse por filas o por columnas. Queremos abordarlo en ambas formas.[br][br][b] Visión Fila [/b][br][br]Este método se centra en ver las ecuaciones por separado (por filas). Es el más conocido, y en dos dimensiones se hace rápidamente. La ecuación [math]\large 2x - y = 1[/math] se representa por una recta en el plano, la segunda ecuación [math]\large x+y = 5 [/math],produce una segunda recta (véase la figura ). Su pendiente es -1 y corta a la primera recta en la solución. El punto de intersección pertenece a ambas rectas. Se trata de la única solución de las dos ecuaciones. El punto [math]\large x=2 , y=3[/math], se encontrará pronto por "eliminación".

El segundo método considera las [b]columnas [/b]del sistema lineal. Las dos ecuaciones por separado en realidad son una[b] ecuación vectorial[/b]:[br][br][center][br][math][br]\large[br]\text{Forma de columna} : x\begin{pmatrix}[br]2\\ 1[br][br]\end{pmatrix} + y\begin{pmatrix}[br]-1\\ 1[br][br]\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}[br]1\\ 5[br][br]\end{pmatrix}[br][/math][br][/center][justify]El problema consiste en [b]encontrar la combinación de los vectores columna en el miembro izquierdo que produce el vector del miembro derecho[/b]. Los vectores [math]\large \begin{pmatrix}[br]2\\ 1[br][br]\end{pmatrix}[/math] y [math]\large \begin{pmatrix}[br]-1\\ 1[br][br]\end{pmatrix}[/math] se representan con las líneas gruesas . Las incógnitas son los números x y y que multiplican a los vectores columna. Toda la idea puede verse en la siguiente figura donde 2 veces la columna 1 se suma a 3 veces la columna 2. Geométricamente, así se obtiene un paralelogramo: Algebraicamente, se obtiene el vector correcto [math]\large \begin{pmatrix}[br]1\\ 5[br][br]\end{pmatrix}[/math] , en el miembro derecho de las ecuaciones. La representación por columnas confirma que x = 2 y y= 3.[/justify]

Puede dedicarse más tiempo a este ejemplo, pero pasemos al caso n=3, tres ecuaciones siguen siendo manipulables, y presentan mucha mayor variedad:[br][center][br][math][br]\large [br]\text{Tres Planos} \hspace{2cm} \begin{matrix}[br]2x+y+z=5 \\ [br]2x -3y=-1 \\ [br]-2x+7y+2z=9 [br]\end{matrix} [br][/math][br][/center]En este caso la intersección de los tres planos da la solución del sistema de ecuaciones, en este caso el punto P=(1,1,2)

[br]Ahora volvemos a las columnas. Esta vez la ecuación vectorial es: [br][br][center][br][math][br]\large [br]\text{Forma de Columna} \hspace{2cm} x[br]\begin{bmatrix}[br]2\\ [br]2\\ [br]-2[br]\end{bmatrix} + y\begin{bmatrix}[br]1\\ [br]-3\\ [br]7[br]\end{bmatrix} +z\begin{bmatrix}[br]1\\ [br]0\\ [br]2[br]\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}[br]5 \\ [br]-1\\ [br]9[br]\end{bmatrix} = b[br][/math][br][/center][br][br][justify]Estos son vectores columna tridimensionales. El vector b se identifica con el punto cuyas coordenadas son 5,-1,9 . Todo punto en el espacio tridimensional se hace corresponder con un vector y viceversa. Esta, era la idea de Descartes, quien transformó la geometría en álgebra al trabajar con las coordenadas del punto. Es posible escribir el vector en una columna, o sus componentes pueden enumerarse como b = (5, -2, 9), o incluso puede representarse geométricamente mediante una flecha a partir de su origen. Pueden elegirse la flecha, o el punto o los tres números. En seis dimensiones, quizá es más conveniente elegir los seis números. Cuando los componentes se enumeran horizontalmente, suele utilizarse paréntesis y comas, Y cuando el vector columna se indica verticalmente se usan llaves (sin comas). Lo que realmente importa es la suma de vectores y la multiplicación por un escalar (un número). En la figura l.4a se muestra una suma vectorial, componente por componente:[/justify]

[center][br][math][br]\large [br]\text{Tres Planos} \hspace{2cm} \begin{matrix}[br]x+2y+3z=6 \\ [br]2x +5y+2z=4 \\ [br]6x-3y+z=2 [br]\end{matrix} [br][/math][br][/center]