[justify][/justify][justify]Предложение, в котором разъясняется смысл того или иного выражения или названия, называется определением. Мы уже встречались с определениями, например с определением угла, смежных углов, равнобедренного треугольника и т. д. Дадим определение еще одной геометрической фигуры — окружности.[br][b][br]Определение[br][/b][/justify][quote][b][/b][b]Окружностью [/b]называется геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии от данной точки.[/quote]

Данная точка называется [b]центром[/b] окружности, а отрезок, соединяющий центр с какой-либо точкой окружности, — [b]радиусом[/b] окружности. Из определения окружности следует, что все радиусы имеют одну и ту же длину.

Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется ее [b]хордой[/b]. Хорда, проходящая через центр окружности, называется [b]диаметром[/b].

[justify]Любые две точки окружности делят ее на две части. Каждая из этих частей называется [b]дугой [/b]окружности. На рисунке ниже [math]ALB[/math] и [math]AMB[/math] — дуги, ограниченные точками А и В.[/justify]

[justify]Для изображения окружности на чертеже пользуются [b]циркулем[/b]. Чтобы провести окружность на местности, можно воспользоваться веревкой. Часть плоскости, ограниченная окружностью, называется [b]кругом[/b].[/justify]

[justify]Мы уже имели дело с геометрическими построениями: проводили прямые, откладывали отрезки, равные данным, чертили углы, треугольники и другие фигуры. При этом мы пользовались масштабной линейкой, циркулем, транспортиром, чертежным угольником.[br][br]Оказывается, что многие построения можно выполнить с помощью только циркуля и линейки без масштабных делений. Поэтому в геометрии специально выделяют те задачи на построение, которые решаются с помощью только этих двух инструментов.[br][br]Что можно делать с их помощью? Ясно, что линейка позволяет провести произвольную прямую, а также построить прямую, проходящую через две данные точки. С помощью циркуля можно провести окружность произвольного радиуса, а также окружность с центром в данной точке и радиусом, равным данному отрезку. Выполняя эти несложные операции, мы сможем решитьмного интересных задач на построение:[br] - построить угол, равный данному;[br] - через данную точку провести прямую, перпендикулярную к данной прямой;[br] - разделить данный отрезок пополам[br] - и другие задачи.[br][br]Начнем с простой задачи.[/justify][b]Задача[br][/b][quote][justify]На данном луче от его начала отложить отрезок, равный данному.[/justify][/quote][br]Решение:[br][justify]Изобразим фигуры, данные в условии задачи: луч [math]OC[/math] и отрезок [math]AB[/math] (см. рисунок ниже, используй стрелки, чтобы перейти на следующий шаг построения). Затем циркулем построим окружность радиуса [math]AB[/math] с центром [math]O[/math]. Эта окружность пересечет луч [math]OC[/math] в некоторой точке [math]D[/math]. Отрезок [math]OD[/math] — искомый.[/justify][br]

[b]Задача[br][/b][quote][b][/b]Отложить от данного луча угол, равный данному.[/quote][justify]Решение:[br]Данный угол с вершиной [math]A[/math] и луч [math]OM[/math] изображены на рисунке ниже. Требуется построить угол, равный углу [math]A[/math], так, чтобы одна из его сторон совпала с лучом [math]OM[/math].[br][br]Проведем окружность произвольного радиуса с центром в вершине [math]A[/math] данного угла. Эта окружность пересекает стороны угла в точках [math]B[/math] и [math]C[/math]. Затем проведем окружность того же радиуса с центром в начале данного луча [math]OM[/math]. Она пересекает луч в точке [math]D[/math]. После этого построим окружность с центром [math]O[/math], радиус которой равен [math]BC[/math]. Окружности с центрами [math]O[/math] и [math]D[/math] пересекаются в двух точках. Одну из этих точек обозначим буквой [math]E[/math]. Докажем, что угол [math]MOE[/math] — искомый.[br][br]Рассмотрим треугольники [math]ABC[/math] и [math]ODE[/math]. Отрезки [math]AB[/math] и [math]AC[/math] являются радиусами окружности с центром [math]A[/math], а отрезки [math]OD[/math] и [math]OE[/math] — радиусами окружности с центром O. Так как по построению эти окружности имеют равные радиусы, то [math]AO=OD[/math], [math]AC=OE[/math]. Также по построению [math]BC=DE[/math].[br][br]Следовательно, [math]\Delta ABC=\Delta ODE[/math] по трем сторонам. Поэтому [math]\angle DOE=\angle BAC[/math], т.е. построенный угол [math]MOE[/math] равен данному углу [math]A[/math].[br][br]То же построение можно выполнить и на местности, если вместо циркуля воспользоваться веревкой,[/justify]

[b]Задача[br][/b][quote][b][/b]Построить биссектрису данного угла.[b][br][/b][/quote][justify]Решение:[br][br]Данный угол [math]BAC[/math] изображен на рисунке ниже. Проведем окружность произвольного радиуса с центром в вершине [math]A[/math]. Она пересечет стороны угла в точках [math]B[/math] и [math]C[/math].[br][br]Затем проведем две окружности одинакового радиуса [math]BC[/math] с центрами в точках [math]B[/math] и [math]C[/math]. Они пересекутся в двух точках, из которых хотя бы одна лежит внутри угла. Обозначим ее буквой [math]E[/math]. Докажем, что луч [math]AE[/math] является биссектрисой данного угла [math]BAC[/math].[br][br]Рассмотрим треугольники [math]ACE[/math] и [math]ABE[/math]. Они равны по трем сторонам. В самом деле, [math]AE[/math] — общая сторона; [math]AC[/math] и [math]AB[/math] равны как радиусы одной и той же окружности; [math]CE=BE[/math] по построению.[br][br]Из равенства треугольников [math]ACE[/math] и [math]ABE[/math] следует, что [math]\angle CAE=\angle BAE[/math], т.е. луч [math]AE[/math] — биссектриса данного угла [math]BAC[/math].[/justify]

[b]Замечание[br][br][/b][justify]Можно ли с помощью циркуля и линейки разделить данный угол на два равных угла? Ясно, что можно, — для этого нужно провести биссектрису этого угла.[br][br]Данный угол можно разделить также на четыре равных угла. Для этого нужно разделить его пополам, а затем каждую половину разделить еще раз пополам.[br][br]А можно ли с помощью циркуля и линейки разделить данный угол на три равных угла? Эта задача, получившая название задачи о трисекции угла, в течение многих веков привлекала внимание математиков. Лишь в ХХ веке было доказано, что для произвольного угла такое построение невозможно.[/justify]

[b]Задача[br][/b][quote]Даны прямая и точка на ней. Построить прямую, проходящую через данную точку и перпендикулярную к данной прямой.[/quote][justify]Решение:[br][br]Данная прямая [math]a[/math] и данная точка [math]M[/math], принадлежащая этой прямой, изображены на рисунке ниже.[br][br]На лучах прямой [math]a[/math], исходящих из точки [math]M[/math], отложим равные отрезки [math]MA[/math] и [math]MB[/math]. Затем построим две окружности с центрами [math]A[/math] и [math]B[/math] радиуса [math]AB[/math]. Они пересекаются в двух точках: [math]P[/math] и [math]Q[/math].[br][br]Проведем прямую через точку [math]M[/math] и одну из этих точек, например прямую [math]MP[/math], и докажем, что эта прямая — искомая, т.е. что она перпендикулярна к данной прямой [math]a[/math].[br][br]В самом деле, так как медиана [math]PM[/math] равнобедренного треугольника [math]PAB[/math] является также высотой, то [math]PM\perp a[/math][/justify]

[b]Задача[br][/b][quote][b][/b]Построить середину данного отрезка.[/quote]Решение: [br][br][justify]Пусть [math]AB[/math] — данный отрезок. Построим две окружности с центрами [math]A[/math] и [math]B[/math] радиуса [math]AB[/math]. Они пересекаются в точках [math]P[/math] и [math]Q[/math]. Проведем прямую [math]PQ[/math]. Точка [math]O[/math] пересечения этой прямой с отрезком [math]AB[/math] и есть искомая середина отрезка [math]AB[/math].[br][br]В самом деле, треугольники [math]APQ[/math] и [math]BPQ[/math] равны по трем сторонам, поэтому [math]\angle1=\angle2[/math] (см. рисунок ниже).[br][br]Следовательно, отрезок [math]PQ[/math] — биссектриса равнобедренного треугольника [math]APB[/math], а значит, и медиана, т.е. точка [math]O[/math] — середина отрезка [math]AB[/math].[/justify]

143. Какие из отрезков, изображенных на рисунке ниже, являются: [br]а) хордами окружности; [br]б) диаметрами окружности; [br]в) радиусами окружности?

[justify]144. Отрезки [math]AB[/math] и [math]CD[/math] — диаметры окружности. Докажите, что: [br] а) хорды [math]BD[/math] и [math]AC[/math] равны; [br] б) хорды [math]AD[/math] и [math]BC[/math] равны; [br] в) [math]\angle BAD=\angle BCD[/math].[br][br]145. Отрезок [math]MK[/math] — диаметр окружности с центром [math]O[/math], а [math]MP[/math] и [math]PK[/math] — равные хорды этой окружности. Найдите [math]\angle POM[/math].[br][br]146. Отрезки [math]AB[/math] и [math]CD[/math] — диаметры окружности с центром [math]O[/math]. Найдите периметр треугольника [math]AOD[/math], если известно, что [math]CB=13[/math] см, [math]AB=16[/math] см.[br][br]147. На окружности с центром [math]O[/math] отмечены точки [math]A[/math] и [math]B[/math] так, что угол [math]AOB[/math] — прямой. Отрезок [math]BC[/math] — диаметр окружности. Докажите, что хорды [math]AB[/math] и [math]AC[/math] равны.[br][br]148. На прямой даны две точки [math]A[/math] и [math]B[/math]. На продолжении луча [math]BA[/math] отложите отрезок [math]BC[/math] так, чтобы[br][math]BC=2AB[/math].[br][br]149. Даны прямая [math]a[/math], точка [math]B[/math], не лежащая на ней, и отрзок [math]PQ[/math]. Постройте точку [math]M[/math] на прямой [math]a[/math] так, чтобы [math]BM=PQ[/math]. Всегда ли задача имеет решение?[br][br]150. Даны окружность, точка [math]A[/math], не лежащая на ней, и отрезок [math]PQ[/math]. Постройте точку [math]M[/math] на окружности так, чтобы [math]AM=PQ[/math]. Всегда ли задача имеет решение?[br][br]151. Даны острый угол [math]BAC[/math] и луч [math]XY[/math]. Постройте угол [math]XYZ[/math] так, чтобы [math]\angle YXZ=2\angle BAC[/math].[br][br]152. Дан тупой угол [math]AOB[/math]. Постройте луч [math]OX[/math] так, чтобы углы [math]XOA[/math] и [math]XOB[/math] были равными тупыми углами.[br][br][url=https://www.geogebra.org/m/pyna3g9k]153.[/url] Даны прямая [math]a[/math] и точка [math]M[/math], не лежащая на ней. Постройте прямую, проходящую через точку [math]M[/math] и перпендикулярную к прямой [math]a[/math].[/justify]154. Дан треугольник [math]ABC[/math]. Постройте: [br] а) биссектрису [math]AK[/math];[br] б) медиану [math]BM[/math]; [br] в) высоту [math]CH[/math] треугольника.[br][br]155. С помощью циркуля и линейки постройте угол, равный: [br] а) [math]45°[/math]; [br] б) [math]22°30'[/math].