OPERAÇÕES COM VETORES

INTRODUÇÃO

[size=150][justify]O objetivo desta atividade é ampliar a compreensão sobre as operações com vetores de um modo significativo.[br]Os [b]escalares [/b](números reais) serão representados por letras gregas como α e β. [br]Os [b][i]vetores[/i] [/b]serão representados por letras minúsculas como [b]u[/b], [b]v[/b] e [b]w[/b]. [br][br]Propriedades da adição de vetores:[br]A1. [b]v[/b] + [b]u[/b] = [b]u[/b] + [b]v [/b](comutativa)[br]A2. ([b]u[/b] + [b]v[/b])+ [b]w[/b] = [b]u[/b] + ([b]v [/b]+ [b]w[/b]) (associativa)[br]A3. [b]u[/b] + [b]o[/b] = [b]u [/b] (existência do elemento neutro)[br]A4. [b]-u[/b] + [b]u[/b] = [b]o [/b](existência do simétrico)[br][br]Propriedades da multiplicação de um escalar por um vetor:[br]M1. (αβ)[b]u[/b] = α(β[b]u[/b])[br]M2. 1[b]u[/b] = [b]u [/b](unidade como elemento neutro)[br]D1. α([b]u[/b] + [b]v[/b]) = α[b]u[/b] + α[b]v [/b](distributiva da multiplicação em relação a adição de vetores)[br]D2. (α+β)[b]u[/b] = α[b]u[/b] + β[b]u [/b](distributiva da multiplicação em relação a adição de escalares)[/justify][/size]

COORDENADAS DE UM VETOR

[size=150][justify]Um vetor é representado, geometricamente, por meio de uma seta, mas, algebricamente, um vetor é representado por um par ordenado de números reais, que são as coordenadas, caso seja um vetor do plano, ou por um terno ordenado, caso seja um vetor representado no espaço.[/justify][/size]

Construção 1

Questão 1

[size=150][justify]Na Construção 1, movimenta os pontos a preto, para modificar as coordenadas do vetor [b]v[/b]. Qual a relação entre as coordenadas de [b]v[/b] e o comprimento de suas projeções ortogonais sobre os eixos x e y, representadas pelos vetores azul e verde, respectivamente?[/justify][/size]

Construção 2

Questão 2

[size=100][size=150][justify]Na Construção 2, clica sobre o vetor [b]v[/b] e arrasta-o pra diferentes posições. A seguir, clica sobre um dos pontos A ou B e movimenta-os também.[br](a) Quando arrastaste o vetor [b]v[/b] (sem clicar nos pontos), as coordenadas dele foram alteradas? Por que achas que isso aconteceu?[br](b) Quando moveste os pontos A e B, as coordenadas do vetor [b]v[/b] foram alteradas? Por que achas que isso aconteceu?[br](c) Como as coordenadas do vetor [b]v[/b] podem ser obtidas a partir das coordenadas de sua origem A e de sua extremidade B?[br](d) Em que situação as coordenadas do vetor [b]v[/b] coincidem com as coordenadas de sua extremidade B?[/justify][/size][/size]

MULTIPLICAÇÃO POR ESCALAR

[size=150][justify]Na Construção 3 podes modificar a aparência (norma, direção e sentido) do vetor [b]u[/b] manipulando-o a partir de sua extremidade. Contudo, o vetor [b]v[/b] está definido de modo que [b]v[/b] = α[b]u[/b]. Assim, embora possa ser movido para qualquer posição do plano, sua aparência depende do vetor [b]u[/b] e do valor do escalar α.[br]Nesta construção podes observar também os valores das coordenadas dos vetores [b]u[/b] e [b]v[/b], bem como as suas normas, representadas por [math]\parallel[/math][b]u[/b][math]\parallel[/math]e [math]\parallel[/math][b]v[math]\parallel[/math][/b].[/justify][/size]

Construção 3

Questão 3

[size=150][justify]Na Construção 3, manipula o seletor para alterar o valor de α e responder às seguintes questões:[br](a) A direção do vetor [b]v[/b] é sempre a mesma do vetor [b]u[/b] quando alteras o valor de α? E se alterares o vetor [b]u[/b] manipulando a sua extremidade ou a sua origem?[br](b) O sentido dos vetores [b]u[/b] e [b]v[/b] é sempre o mesmo? Se não, em que situações esse sentido se inverte?[br](c) O que acontece quando α = 0?[br](d) O que acontece quando α = 1?[br](e) O que acontece quando α = -1?[br](f) Para que valores de α o vetor [b]v[/b] é menor que o vetor [b]u[/b]?[/justify][/size]

Questão 4

[size=150][justify]Ainda com base na Construção 3, responde às seguintes questões.[br](a) Como é possível obter o valor da norma do vetor [b]v[/b] a partir do valor de α e do módulo do vetor [b]u[/b]?[br](b) Como é possível obter as coordenadas do vetor [b]v[/b] =([i]a[/i], [i]b[/i]) a partir do valor de α e das coordenadas do vetor [b]u[/b] = ([i]c[/i], [i]d[/i])?[/justify][/size]

VETOR: UM "TRANSPORTADOR" DE PONTOS

[size=150][justify]Podemos considerar um vetor como um "transportador" de pontos.[br]Na Construção 4, temos um vetor [b]v[/b] com origem em P. Para mover o ponto P, modifica o vetor [b]v[/b] arrastando sua extremidade para onde desejas que o ponto P se desloque, e depois, clicas em cima do vetor [b]v[/b] e observas o ponto P a mover-se para lá.[/justify][/size]

Construção 4

[size=150][justify]Na Construção 5, clicando sobre um dos vetores que aparecem do lado direito, podes transportar o ponto P da posição em que se encontra, por uma distância correspondente à norma do vetor na direção e no sentido do mesmo. Deves levar o ponto P até o ponto vermelho clicando uma única vez em cada um dos vetores. [br]Será que a ordem dos cliques faz diferença?[br]Conseguindo ou não cumprir a tarefa à primeira tentativa, clica no ícone de reiniciar a construção, no canto superior direito, e vê se consegues levar o ponto P até o ponto vermelho de uma forma diferente.[/justify][/size]

Construção 5

[size=150][justify]O resultado da experiência realizada na construção acima é uma consequência das propriedades da adição de vetores.[/justify][/size]

ADIÇÃO DE VETORES

[size=150]Na Construção 6, clica sobre o vetor [b]v[/b] e arrasta-o de modo que a sua extremidade fique aplicada na origem do vetor [b]u[/b]. Desloca o vetor soma ([b]s[/b]) para a construção obtida. Compara as normas dos vetores com os comprimentos dos lados e da diagonal do paralelogramo da figura.[br][br]Repete a experiência fazendo variar o comprimento de [b]v[/b] e de [b]u[/b]. [br][br]Confirma o resultado da adição dos vetores dado pelas suas coordenadas.[br][br][b]u[/b]+[b]v[/b] = ([b]u[/b]1,[b]u[/b]2) + ([b]v[/b]1,[b]v[/b]2) = ([b]u[/b]1+[b]v[/b]1, [b]u[/b]2+[b]v[/b]2)[center][/center][/size]