Dla funkcji [math]f(x,y)=x^2+y^2-4[/math] i [math]g(x,y)=x^4+2y^2+4xy[/math] rozważmy krzywe opisane równaniem:[br][center][math]a\cdot f(x,y)+(1-a)\cdot g(x,y)=0[/math], gdzie [math]a\in[0,1][/math]. [/center]Wyznaczymy ekstrema lokalne funkcji uwikłanych powyższymi równaniami.[br][br][u]Rozwiązanie:[/u][br]

[s]Otrzymaliśmy dwa punkty, w których mogą wystąpić ekstrema lokalne. [br][br]Dla punktu mamy: i , zatem w otoczeniu punktu istnieje funkcja uwikłana , której wykres przechodzi przez punkt . Ponadto i , co oznacza, że funkcja uwikłana ma w maksimum lokalne równe .[br][br]Dla punktu mamy: i , zatem w otoczeniu punktu istnieje funkcja uwikłana , której wykres przechodzi przez punkt . Ponadto i , co oznacza, że funkcja uwikłana ma w minimum lokalne równe .[/s][math]P_1=(2,2)[/math][math]F(P_1)=0[/math][math]F_y(P_1)\ne0[/math][math]x=2[/math][math]y=f_1(x)[/math][math]P_1[/math][math]F_x(P_1)=0[/math][math]I(P_1)=-\frac{1}{2}<0[/math][math]f_1[/math][math]x=2[/math][math]2[/math][math]P_2=(-2,-2)[/math][math]F(P_2)=0[/math][math]F_y(P_2)\ne0[/math][math]x=-2[/math][math]y=f_2(x)[/math][math]P_2[/math][math]F_x(P_2)=0[/math][math]I(P_2)=\frac{1}{2}>0[/math][math]f_2[/math][math]x=-2[/math][math]-2[/math]