Potser pel fet de viure en un lloc on els avions es van apropant a l'aeroport i per això no volen massa alt, m'ha cridat l'atenció el fet que la direcció on es veu l'avió no coincideix amb la direcció d'on se sent el so. En aquesta construcció mostraré com es pot modelitzar.

Suposarem que l'avió vola a velocitat constant [math]v[/math] en una trajectòria rectilínia i horitzontal.[br][br]Anomenarem [math]H[/math] a la distància entre la trajectòria de l'avió i la posició de l'observador (no és necessari que l'avió passi per la vertical de l'observador). [br][br]El moviment de l'avió està parametritzat per la variable temps [math]t[/math] ([math]x[/math] en el GeoGebra) de manera que [math]t=0[/math] correspon al moment de la posició més propera de l'avió respecte l'observador.[br][br]Per tant, l'angle amb el que es veu l'avió, mesurat des del segment que va de l'observador al punt de màxim apropament, es pot calcular amb[br][math]\alpha_v=\arctan\:\left(\frac{vt}{H}\right)[/math][br][br]En canvi, el so que ens arriba en aquell instant ha sigut emès des d'una altra posició, [math]vt-R[/math], essent [math]R[/math] la distància que ha avançat l'avió en el mateix temps que el soroll arriba a l'observador. És a dir, el temps que triga l'avió en desplaçar-se [math]R[/math] movent-se a la velocitat [math]v[/math], és el mateix que triga el so (que es propaga a velocitat [math]c[/math]) en anar de la posició [math]vt-R[/math] a l'observador:[br][math]\frac{R}{v}=\frac{\sqrt{H^2+\left(vt-R\right)^2}}{c}[/math][br][br]Aquesta és una equació de segon grau en la variable [math]R[/math]. De les dues solucions que hi ha, només té sentit la positiva, que és[br][math]R=\frac{-v^3t+\sqrt{c^2v^4t^2+H^2v^2\left(c^2-v^2\right)}}{c^2-v^2}[/math][br][br]Per tant, l'angle amb el que se sent el so de l'avió, mesurat des del segment que va de l'observador al punt de màxim apropament, es pot calcular amb[br][math]\alpha_s=\arctan\:\left(\frac{vt-R}{H}\right)[/math][br][br]En la construcció es poden seleccionar la velocitat de l'avió (en m/s) i l'altura de vol (en m), i es mostren els dos angles, [math]_{ }\alpha_v[/math] i [math]\alpha_s[/math], així com la seva diferència [math]\Delta\alpha[/math], en funció del temps. L'escala de l'eix vertical indica els graus. En les gràfiques es pot veure que quan l'avió està en la vertical de l'observador, [math]_{ }\alpha_v=0[/math], el so es percep d'una posició més endarrerida; i que quan percebem el so provinent del zènit, la posició de l'avió està més enllà [math]\alpha_v>0[/math].[br]

La freqüència [math]f[/math] (estrictament, freqüències, perquè no és un so pur) del so que sentim està determinada per la freqüència en repòs [math]f_0[/math] i per la velocitat [math]v[/math] amb que l'avió es mou respecte l'observador. És el conegut efecte Doppler que, pel cas de la font en moviment i l'observador en repòs, és[br][math]f=f_0\frac{c}{c\mp v}[/math][br]on [math]c[/math] és la velocitat del so, i el signe menys és per quan s'apropa l'avió i el signe més és per quan s'allunya.[br][br]La distància entre l'observador i l'avió és [math]d_A\left(t\right)=\sqrt{v^2t^2+H^2}[/math], per tant la velocitat observada de l'avió és [math]v_A\left(t\right)=\frac{v^2t}{\sqrt{v^2t^2+H^2}}[/math]. S'aprecia que la corba té per asímptotes horitzontals els valors [math]-v[/math] per [math]t\ll0[/math], i [math]+v[/math] per [math]t\gg0[/math].[br][br]Si tenim present que el so que ens arriba havia sigut emès un temps [math]\tau=\frac{R}{v}[/math] abans de la posició observada, podem afirmar que la velocitat a la que arriba el so a l'observador és [math]v_s\left(t\right)=v_A\left(t-\tau\right)[/math].[br][br]A la construcció s'ha representat el canvi relatiu percentual de freqüència respecte del temps, per tal que es vegi bé en l'escala de l'eix vertical: [math]\Delta f_r=\frac{f-f_o}{f_0}·100[/math]. [br]

Suposarem que el so s'atenua només per l'expansió geomètrica del front d'ones, que és proporcional a l'invers del quadrat de la distància.[br][br]Com que desconeixem la intensitat de so en el focus, compararem la intensitat que arriba en un instant amb el que arriba a l'instant de màxim apropament.[br][br]A la construcció s'ha representat aquest quocient percentualment per tal que es vegi bé en l'escala de l'eix vertical: [math]i_r=\frac{\frac{I_0}{4\pi D^2}}{\frac{I_0}{4\pi H^2}}·100=\frac{H^2}{D^2}·100[/math][br]Es pot veure que el màxim de la intensitat relativa del so es dóna quan el so ens arriba vertical, i ens aquests moments l'avió està allunyant-se de l'observador: hi ha un decalatge entre el que es veu i el que s'escolta.[br]