Cuando una cuerda, un cable o una cadena cuelgan por su propio peso, adquieren la forma matemática de curva "catenaria". Este tipo de curvas se utilizan en construcciones pues precisamente por la propiedad anterior, ayudan a distribuir el peso y redirigirlo hacia los pilares.[br][br]Curiosamente, la catenaria se aproxima muy bien por la parábola, hecho que matemáticamente queda justificado si observamos la expresión del polinomio de Taylor de la catenaria.[br][br]Pero más curioso todavía es que si de una cadena, que adquiere forma de catenaria por su propio peso, hacemos que soporte una carga uniformemente distribuida (similar al efecto que hacen los tirantes del puente Lusitania, en la foto), entonces la forma que adquiere es ¡de parábola![br][br]Así pues, para modelizar este puente, [br][list][*]¿Qué elegiríamos, parábola o catenaria? [/*][*]¿Habrá mucha diferencia entre ambas?[/*][/list]

Vamos a utilizar GeoGebra para modelar una catenaria, conocido su Vértice (V) y un punto (P) por el que pasa.[br][list=1][*]Utilizamos el comando CAS ResoluciónN para encontrar la ecuación (ver más abajo cómo hacerlo)[/*][*]Obtenemos el polinomio de interpolación para tener una parábola aproximada, con el comando [b]Polinomio(...)[/b]. Para que V sea el vértice, habrá que calcular el simétrico de P por la recta vertical que pasa por V, utilizando el comando [b]Refleja(...)[/b][/*][*]Calculamos el polinomio de Taylor en V hasta grado 4 de la catenaria, con el comando [b]PolinomioTaylor(...)[/b]. Comprobamos que el término de 3[sup]er[/sup] grado es nulo.[/*][/list]De fondo, podemos utilizar una imagen real, como la que tenemos más abajo. [br][list][*]La marcamos como [b]Imagen de fondo[/b] en "propiedades". [/*][*]Cambiamos el nombre de sus puntos de posición a ImgA e ImgB, y los usamos para modificar el tamaño de la imagen[br][/*][/list]

[list][*]La ecuación de la catenaria con vértice en V es [math]\large\bold{k\cdot cosh\left(\frac{x-V_x}{k}\right)-k+V_y}[/math], donde [math]\bold{k}[/math] es un parámetro que depende del punto [math]\bold{P}[/math] por el que queremos que pase. Aquí le hemos llamado [i]ParametroCatenaria[/i][/*][*]Para averiguarlo, tenemos que resolver la ecuación que se obtiene al imponer que el resultado en [i]P[sub]x[/sub][/i] sea precisamente [i]P[sub]y[/sub][/i]. Las coordenadas de un punto P se obtienen con los comandos [b]x(P)[/b], [b]y(P)[/b].[/*][*]En general, no es fácil resolver esa ecuación, por lo que usaremos la herramienta CAS de resolución numérica: [b]ResolucionN[/b](...)[/*][*]Como el resultado es una lista, para poderlo usar en la vista algebraica tendremos que hacer lo siguiente para acceder a él:[list=1][*]Tomar el primer elemento de esa lista, con el comando [b]Elemento(ParametroCatenaria,1)[/b]. Como está escrito en la forma x=... , se interpretará como una recta vertical. [/*][*]Para calcular el número, cortamos esa recta con, por ejemplo, y=0, y obtenemos la coordenada x del punto resultante: [b]Parametro = x(Interseca(Elemento(ParametroCatenaria, 1), y = 0))[/b][/*][/list][/*][/list]

[list][*]Usar casillas para mostrar/ocultar los diferentes elementos[/*][*]Introducir una casilla verEjes, y en su código al hacer click, que se muestren los ejes y la cuadrícula, con los comandos [b]MuestraCuadrícula(verEjes)[/b], [b]MuestraEjes(verEjes)[/b][/*][*]Hacer que los puntos de posición de la imagen, "ImgA" e "ImgB", se controlen moviendo un solo punto "ImgCentro", redefiniéndolos como [b]ImgA=ImgCentro+CopiaObjetoLibre(ImgA-ImgCentro)[/b][/*][/list]