Flächen unter Kurven - Rauminhalt
Anwendung der Konzepte der Integralrechnung auf die Berechnung von Flächen und von Volumina von Rotationskörpern angewendet werden. Flächen unter und zwischen Kurven sowie der Mittelwertsatz wird behandelt
Table of Contents
- Erinnerung
- Der orientierte Flächeninhalt
- Flächen unter Kurven
- Flächen unter Kurven
- Rotationsvolumen
- Koordinaten im Raum - immer rechtwinklig?
- Berechnung von Rotationsvolumen
- Der Mittelwertsatz der Integralrechnung
- Mittelwertsatz der Integralrechnung
Der orientierte Flächeninhalt
Eine kleine Erinnerung
Als direkte Folge der Flächenberechnung durch Riemann Summen (die Summe über die Rechteckstreifen) folgt, dass die Anteile der Fläche unter der x- Achse negativ und diejenigen oberhalb der x-Achse positiv in die Integralfunktion eingehen.[br][br]Das Applet unten (aus dem Einführungsbuch) macht die nochmals transparent
Flächen unter Kurven
Positive und negative Funktionswerte
Der grüne Pfeil symbolisiert einen Funktionswert auf dem Graphen. Fahren Sie mit Hilfe des Punktes mit diesem Pfeil entlang der Kurve. [br]Notieren Sie sich die positiven und negativen Bereiche des orientierten Flächeninhalts.
Der Einfluß der Integrationsgrenzen
Legen Sie nun nach Belieben die Integrationsgrenzen fest. Überlegen Sie sich welches Vorzeichen der Wert der Integralfunktion nun hat. Notieren Sie sich ein paar Beispiele. (Grenzen und jeweils vermuteter Wert)
Zusammenfassung und Ergebnis
Sie können nun die Beiträge der einzelnen Flächen einblenden. Je nach Vorzeichen ädert sich die Farbe. Solllten Sie noch unsicher sein, können Sie auch die Riemann Türmchen einblenden.[br][br]Wichtig ist: es zählt die x-Achse, darauf "stehen" die Flächenanteile. Die y-Achse ist ohne Belang. Der Flächenanteil im Intervall [-2|0] zeigt dies deutlich
Orientierter Flächeninhalt und geometrische Fläche
Wie gehen Sie vor, wenn Sie den geometrischen, nicht den orientierten Flächeninhalt analysieren möchten: Beispiel: Sie schneiden die oben dargestellte Fläche aus - wie groß ist die Oberfläche der Form (wie groß ist die Papierfläche)?
Koordinaten im Raum - immer rechtwinklig?
Der Übergang in die dritte Dimension
Seit der ersten Gerade in der Mittelstufe sah die Welt immer gleich aus. Ein Koordinatensystem mit x und y, darin werden Werte aufgetragen. Letztlich wie früher beim Schiffchen versenken (großer Unterschied: das Kriterium für Funktion oder nicht, das y und x Achse prinzipiell unterschiedlich macht - erinnern Sie sich noch?).[br]Wenn wir uns nun für Volumen interessieren kommt damit der Schritt in die Dritte Dimension.
Kartesische Koordinaten
Wie in zweite Dimenion kann man die dritte Dimension einfach durch eine dritte Achse darstellen, wie auf dem Applet unten.[br]Ein Punkt im Raum wird dann mit seinen Koordinaten, die einfach Vielfache der Grundlänge des Koordinatensystems sind dargestellt. In unserem Fall ist die Grundlänge eins, dann fällt das gar nicht auf.[br]Damit kann man einen Punkt beliebig im Raum darstellen.[br]Spielen Sie das einfach mal mit dem Applet durch.
Beliebige Körper und Sonderfälle
Wenn man nun Volumina beliebiger Körper berechnen will, dann erfordert dies mehrdimensionale Analysis. Keine Angst - das ist der Uni vorbehalten. (Außer es hat jemand Spaß dran sich selbst einzuarbeiten ;-) )[br][br]Nun gibt es aber Sonderfälle: symmetrische Körper. Es gibt Symmetrien, bei denen man nur 2 Koordinaten braucht um einen Köper im Raum zu beschreiben.
Rotationskörper
Stellen Sie sich vor Sie binden einen Gegenstand an eine Schnur und lassen ihn um den Kopf kreisen (klassische Schleuder - aufpassen!)[br]a) Welche geometrische Form überstreicht dann die Schnur?[br]b) und wenn Sie nun einen Stab an 2 Schnüre binden welche geometrische Form wird dann vom Stab und den beiden Köpern gebildet? (Schnüre parallel)
Zylinderkoordinaten
Zylinderkoordinaten tragen dieser Symmetrie Rechnung. Man gibt den Abstand von der Zylinderachse, die Lage entlang der Achse und den Winkel an.
Rotationskörper
Wenn Sie das Volumen eines rotationssymmetrischen Körpers, wie der im Applet unten dargestellte Zylinder beschreiben wollen, wie viele Koordinaten benötigen Sie und welche sind dies?
Fazit
Durch Benutzung der Zylinderkoordinaten Abstand r und Lage x, läßt sich das Problem der Volumenberechnung auf zwei Koordinaten reduzieren. Methoden die wir für die rechtwinkligen (kartesischen) Koordinaten (x|y) entwickelt haben lassen sich damit übertragen.
Mittelwertsatz der Integralrechnung
Berechnung von Mittelwerten
Die Berechnung von Mittelwerten von Größen erfordert immer Summenbildung: Man addiert alle Elemente auf und dividiert anschließend durch die Anzahl der Elemente, man erhält den Mittelwert, das arithmetische Mittel.[br][br]Kern der Integralrechnung ist ebenfalls eine Summenbildung. Es liegt also nah, zu untersuchen welche Zusammenhänge bestehen (könnten).[br][br]Diesen Zusammenhang beschreibt der Mittelwertsatz der Integralrechnung
DIe Grundidee des Mittelwertsatzes
Blenden Sie auf dem Applet unten das Integral über die Funktion f zwischen den Grenzen a und b ein. Spielen Sie mit den Grenzen und verändern Sie so den Wert dieses bestimmten Integrals (Fachsprache: bestimmtes Integral - Integral mit festen unteren und oberen Grenzen a und b)[br][br]a) Finden Sie nun eine Rechteckfläche mit der Kantenlänge b-a, die größer ist als das Integral. Welche Länge, muß die andere Seite des Rechtecks haben, sprich, welchen Funktionswert nehmen Sie dafür? Geben Sie die Formel für diese Fläche an[br]b) Entsprechend: welchen Funktionswert nehmen Sie für eine Rechteckfläche, die garantiert kleiner ist als der Wert des Integrals? Wie groß ist diese Fläche? - Formel?[br](Hilfe: Blenden Sie Extrema ein)
Herleitung des Mittelwertsatzes
Der Wert des Integrals muß als zwischen dem Rechteck über [a|b] und dem asoluten Minimum und dem Rechteck über [a|b] und dem asoluten Maximum als Kante liegen:[br] [img]data:image/png;base64,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[/img] [br]Nun ist die Funktion auch stetig (hat keine Definitionslücken), bzw. muß stetig sein. Also gibt es zwischen dem absoluten Maximum M und dem absolute nMinimum m alle Zwischenwerte von f(x). [br][br]Wenn der Wert des Integrals wie oben beschrieben zwischen diesen beiden Extremen lieg und es alle Zwischenwerte gibt, dann muß es auch ein Rechteck geben, das genau die gleiche Fläche wie das Integral hat. [br][br]Es muß also ein Argument [math]\xi[/math] geben für dessen Funktionswert [math]f\left(\xi\right)[/math] die Fläche [math]f\left(\xi\right)\cdot\left(b-a\right)[/math] genau gleich dem Wert des Integrals ist. Das nennt man den Mittelwertsatz der Integralrechnung:[br][br] [img]data:image/png;base64,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[/img] [br]
1. Die geometrische Interpretation des Mittelwertsatzes
Es gibt ein Rechteck der Kantenlänge b-a mit der zweiten Kantelänge die durch irgend einen Funktionswert auf der Grenzkurve gegeben ist, dessen Fläche genau gleich dem Wert des Integrals ist.
2. Die Arithmetische Interpretation des Mittelwertsatzes
Das Integral summiert alle Werte [math]f\left(x\right)\cdot dx[/math] zwischen a und b auf. b-a ist die Summe aller dx. Wenn ich nun durch b-a dicidiere, bedeutet das, daß [math]f\left(\xi\right)[/math] der Mittelwert der Funktion auf [a|b] ist. Denn genau so bildet man das arithmetische Mittel: alles aufsummieren, dann durch Anzahl teilen. [br][br]Man kann also den mittleren Funktionswert auf einem Intervall berechnen mit:[br][br] [img]data:image/png;base64,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[/img]
3. Praktische Folge:
Man kann nun also auf einfache Weise den Mittelwert einer beliebigen kontinuierlichen Größe auf einem Intervall [a|b] berechnen, indem man das Integral über die Größe auf diesem Intervall berechnet und dann durch die Intervallänge dividiert. Praktische Sache und in der oben stehen Form gut zu merken. [br][br]Man könnte in gewisser Weisean Stelle von [math]f\left(\xi\right)[/math] auch [img]data:image/png;base64,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[/img] [code][/code]schreiben .