Gegeben ist eine Gerade durch die zwei Punkte A=(-2|-4|1) und B=(2|1|3).[br]Es ist zu untersuchen, ob die Punkte C=(1|-0.25|2.5), D=(-4|-6.5|0), E=(6|6|5) und F=(0|-2|2) auf der Geraden liegen.

Die Gerade verläuft durch die Punkte A=(-2|-4|1) und B=(2|1|3).[br] [math]\vec{a}=\left(\begin{matrix}-2\\-4\\1\end{matrix}\right)=\vec{OA}[/math] ist der Ortsvektor des Punktes A, dieser kann als Stützvektor verwendet werden. [br][br]Der Richtungsvektor [math]\vec{u}[/math] ist ein Vektor, der von Punkt A zu Punkt B führt. B liegt in x-Richtung um 4 Einheiten weiter als A, in y-Richtung um 5 Einheiten und in z-Richtung um 2 Einheiten. Also ist [br][math]\vec{u}=\left(\begin{matrix}4\\5\\2\end{matrix}\right)[/math][br]Man erhält [math]\vec{u}[/math] auch als Vektordifferenz [math]\vec{u}=\vec{b}-\vec{a}=\left(\begin{matrix}2\\1\\3\end{matrix}\right)-\left(\begin{matrix}-2\\-4\\1\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\5\\2\end{matrix}\right)[/math].[br]Damit lautet die Geradengleichung [math]g: \quad \vec{x}=\left(\begin{matrix}-2\\-4\\1\end{matrix}\right)+t\cdot\left(\begin{matrix}4\\5\\2\end{matrix}\right), \quad t\in\mathbb{R}[/math]

Es sieht so aus, als ob [i]alle[/i] diese Punkte auf der Geraden liegen.[br]Wenn man aber in der Zeichnung oben die Perspektive ändert, wird schon deutlich, dass Punkt F nicht auf g liegt.[br]Aber für die anderen Punkte reicht diese "Sichtprüfung" nicht - ob sie exakt auf der Geraden liegen oder vielleicht ganz dicht daneben, kann nur durch eine Berechnung festgestellt werden:[br][br]Punkt C=(1|-0.25|2.5):[br]Wenn der Punkt C auf der Geraden liegt, muss der Ortsvektor von C die Geradengleichung erfüllen, d.h. es muss gelten[br][math]\left(\begin{matrix}1\\-0.25\\2.5\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-4\\1\end{matrix}\right)+t\cdot\left(\begin{matrix}4\\5\\2\end{matrix}\right)[/math][br]Das sind drei Gleichungen für nur eine Unbekannte [math]t[/math], die Vektorgleichung muss ja für die x-Komponente, die y-Komponente und die z-Komponente erfüllt sein. Also:[br][math]\left|\begin{matrix}1\\-0.25\\2.5\end{matrix}\begin{matrix}=\\=\\=\end{matrix}\begin{matrix}-2\\-4\\1\end{matrix}\begin{matrix}+t\cdot4\\+t\cdot5\\+t\cdot2\end{matrix}\right|[/math] [math]\Leftrightarrow[/math] [math]\left|\begin{matrix}1+2\\-0.25+4\\2.5-1\end{matrix}\begin{matrix}=\\=\\=\end{matrix}\begin{matrix}4\cdot t\\5\cdot t\\2\cdot t\end{matrix}\right|[/math] [math]\Leftrightarrow[/math] [math]\left|\begin{matrix}4\cdot t\\5\cdot t\\2\cdot t\end{matrix}\begin{matrix}=\\=\\=\end{matrix}\begin{matrix}3\\3.75\\1.5\end{matrix}\right|[/math] [math]\Leftrightarrow[/math] [math]\left|\begin{matrix}t=0.75\\t=0.75\\t=0.75\end{matrix}\right|[/math][br]Da alle drei Gleichungen mit demselben Wert für den Parameter [i]t[/i] erfüllt werden, gilt: [b]C liegt auf g[/b].[br][br]Entsprechende Berechnungen sind für die Punkte D, E und F durchzuführen, wobei bei Punkt F auf jeden Fall nicht alle drei Gleichungen auf denselben Wert für [i]t[/i] führen, denn F liegt ja nicht auf g (siehe oben).