Ein [b]logistisches Wachstum[/b] liegt vor, wenn der momentane Zuwachs proportional zum momentanen Bestand und zum vorhandenen Freiraum angenommen wird.[br][br]Die [b]Differentialgleichung[/b] zur Beschreibung dieses Wachstumsmodells lautet[br](P Population, λ Parameter, K Kapazitätsgrenze)[br][center][math]\frac{dP}{dt}=\lambda\cdot P\cdot\left(K-P\right)[/math][/center]und hat die [b]Lösung [/b][math]P\left(t\right)=\frac{K}{1+\left(\frac{K}{P_0}-1\right)\cdot e^{-\lambda\cdot K\cdot t}}[/math] [i](Herleitung siehe unten)[/i].

Aus [br][center][math]\frac{dP}{dt}=\lambda\cdot P\cdot\left(K-P\right)[/math][/center]folgt[br][center][math]\frac{1}{P\cdot\left(K-P\right)} \, dP=\lambda \, dt[/math][/center]Eine Partialbruchzerlegung und anschließende Integration führt zu[br][br][center][math] \frac{1}{K} \cdot \int \left( \frac{1}{P} + \frac{1}{K-P} \right) \, dP = \int \lambda \, dt[/math][/center]Das Integral ergibt für [math]P>0,K>P[/math][br][center][math]\frac{1}{K}\cdot\left(ln\left(P\right)-ln\left(K-P\right)\right)=\lambda\cdot t+c_1[/math][br][/center][center][br][math]\frac{1}{K}\cdot\left(ln\frac{P}{K-P}\right) =\lambda\cdot t+c_1[/math][br][math]\frac{P}{K-P}=c\cdot e^{\lambda\cdot K\cdot t}[/math][br][/center]Durch Ausmultiplizieren kann nach P aufgelöst werden:[br][center][math]P = \left(K-P \right) c\cdot e^{\lambda\cdot K\cdot t} = K \cdot c\cdot e^{\lambda\cdot K\cdot t}- P \cdot c\cdot e^{\lambda\cdot K\cdot t}[/math][br][math]P \cdot \left( 1+ c\cdot e^{\lambda\cdot K\cdot t} \right) = K \cdot c\cdot e^{\lambda\cdot K\cdot t}[/math][br][math]P(t) = \frac{K \cdot c\cdot e^{\lambda\cdot K\cdot t} } { 1+ c\cdot e^{\lambda\cdot K\cdot t} }[/math][/center][br]Aus der Anfangswertbedingung P(0) = P[sub]0[/sub] kann die Konstante c berechnet werden.[br][center][math]P(0) = \frac{K \cdot c\cdot 1} { 1+ c\cdot 1 } = P_0[/math][br][math]c=\frac{P_0}{K-P_0}[/math][/center]Damit ergibt sich für die Lösung[br][math]P(t) = \frac{K \cdot \frac{P_0}{K-P_0} \cdot e^{\lambda\cdot K\cdot t} } { 1+ \frac{P_0}{K-P_0} \cdot e^{\lambda\cdot K\cdot t} } = \frac{K \cdot P_0 \cdot e^{\lambda\cdot K\cdot t}} { \left(K-P_0 \right) + P_0 \cdot e^{\lambda\cdot K\cdot t} } = \frac{K \cdot P_0 } { \left( K-P_0 \right)\cdot e^{-\lambda\cdot K\cdot t} + P_0} = \frac{K } { 1 + \left( \frac{K}{P_0} - 1 \right)\cdot e^{-\lambda\cdot K\cdot t} }[/math]