АВСD - ромб со стороной 4 см, ∠ADC=150͒, BM - перпендикуляр к плоскости ромба и равен [math]2\sqrt{3}[/math]см. Найдите расстояние от точки М до AD.

BH-высота треугольника АВD[br][math]\angle A=\angle C=30^{\circ}[/math][br][math]\bigtriangleup ABH[/math]- Прямоугольный[br][math]\angle ABH=60^\circ[/math][br][math]MH=\frac{2\sqrt{3}}{sin60}=4cm[/math][br]Ответ: MH=4cm

Точка М равноудалена от всех сторон правильного треугольника АВС, сторона которого равна 4 см. Расстояние от точки М до плоскости АВС равно 2 см.[br][list=1][*]Докажите, что плоскость АМО перпендикулярна плоскости ВМС (О-основание перпендикуляра, опущенного из точки М на плоскость АВС).[/*][*]Найдите угол между плоскостью ВМС и плоскостью АВС.[/*][*]Найдите угол между МС и плоскостью АВС.[/*][/list]

Решение: [br]1)По т. 3 перпендикуляров[br] [math]AD\perp BC\Longrightarrow MD\perp BC\Longrightarrow CB\bot AMO\Longrightarrow AMO\perp MBC[/math][br]2) [math]MD=MB\times\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}\Longrightarrow OD=\frac{1}{3}AD=\frac{1}{3}MD=\frac{2\sqrt{3}}{3}[/math][br][math]\angle MDA=arctag\left(2\div\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)=60^{\circ}=\angle\left(BMC,ABC\right)[/math] [br]3) [math]CO=\frac{CD}{cos30^{\circ}}=\frac{4}{\sqrt{3}}[/math][br][math]\angle MCO=arctan\frac{2\sqrt{3}}{4}=arctan\frac{\sqrt{3}}{2}[/math][br]Ответ: [br]2) [math]\angle\left(BMC,ABC\right)=60^\circ[/math][br]3) [math]\angle MCO=arctan\frac{\sqrt{3}}{2}[/math]

Точка Е принадлежит АС, причем АЕ:ЕС = 2:1. Найдите расстояние от точки Е до плоскости ВМС[br](Построение на рисунке из задачи 2)[br]Решение:[br]AC=4[math]\Longrightarrow[/math]EC=[math]\frac{4}{3}[/math]sm[br]EH=EC[math]\times sin60^\circ=\frac{4}{3}\times\frac{1}{2}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}sm[/math][br]Ответ: EH=[math]\frac{2}{3}[/math]