a) Diskutieren Sie die Frage, ob es sinnvoll ist, die Punkte mit einer durchgezogenen Linie zu verbinden.[br][br]b) Geben Sie in der Eingabezeile des obigen Applets einen Funktionsterm in der Form f(x) = ... ein, dessen Graph die Datenpunkte verbindet. Orientieren Sie sich dabei an den Lösungen der vorangegangenen Aufgabe.[br][br]c) Diskutieren Sie die Frage, ob es sinnvoll ist, im Term f(x) für x eine beliebige positive reelle Zahl (also auch z.B. die irrationale Zahl √2) einzusetzen.
a) Der radioaktive Zerfall erfolgt nicht sprunghaft zu einer bestimmten Tageszeit, sondern kontinuierlich. Da die Tage in beliebig kleine Zeiteinheiten unterteilt werden können, können die Datenpunkte aus der Tabelle beliebig dicht liegen. Daher ist es sinnvoll, die vorhandenen Punkte mit einer durchgezogenen Linie zu verbinden.[br][br]b) Als Funktionsterm eignet sich z.B. f(x) = 100 · 0.5^(x/8), da dies in allen Fällen (x=n, x=1/n, x=m/n) mit den Termen der vorherigen Aufgabe übereinstimmt. [br][br]c) Aus dem Kontext ergibt sich zunächst kein sinnvoller Grund, irrationale Vielfache x von Tagen zu betrachten, da man die verwendete Zeiteinheit immer nur in (beliebig kleine) Bruchteile zerlegen kann. Auch mathematisch kann die Bedeutung einer irrationalen Zahl im Exponenten nur durch eine Approximation mit rationalen Zahlen erklärt werden. (Rationale Exponenten sind bekanntlich durch Potenz- und Wurzelfunktionen erklärt.) [br]Fragt man jedoch danach, welchen x-Wert man einsetzen muss, um ein bestimmtes Ergebnis zu erhalten (z.B. "Nach welcher Zeit ist der Bestand auf genau 30 μg abgesunken?"), so muss man - wie schon die Funktion f(x) = x[sup]2[/sup] gezeigt hat - mit dem Auftreten von irrationalen Zahlen x rechnen (hier: x = -8 · log[sub]2[/sub](0,3) ≈ 13,9). Für die Praxis ist jedoch die Antwort "nach ungefähr 13,9 Tagen" vollkommen ausreichend.[br]