Integración
Veremos el concepto de integral definida y sus aplicaciones. En las calculadoras de áreas, no se contempla el cálculo en el caso de que haya una discontinuidad de salto infinito dentro del intervalo de integración. En este caso aparecerá un "?" que quiere decir que sería infinito. Si para resolver alguna de las ecuaciones para encontrar puntos, la ecuación no es algebraica, no halla los valores y si intervienen funciones trigonométricas se calcula todo en [0,2π]
Índice
- Interpretación y definición integral definida
- Sumas de Riemman
- Cálculo de áreas
- Cáculo de áreas (I)
- Cáculo de áreas (II)
- Cálculo de áreas (III)
- Cálculo de áreas (IV)
- Cálculo de áreas (V)
- Calculadoras de áreas
- Calcualdora de áreas (I)
- Calcualdora de áreas (II)
Sumas de Riemman
Concepto de integral
Sea [math]f\left(x\right):\left[a,b\right]\longrightarrow\mathbb{R}[/math] una función acotada en el intervalo [math]\left[a,b\right][/math] Queremos hallar el área comprendida entre la gráfica y el eje OX. Para ello construimos una partición [math]P=\left\{x_0,x_1,\ldots,x_n\right\}[/math] de [math]\left[a,b\right][/math][br]Podemos construir los rectángulos que están por "encima" de la función y hallar el área total de la siguiente manera:[br]Llamaremos [math]sup_i=supremo\left(f\left(x\right)\right)[/math]en el intervalo [math]\left[x_{i-1},x_i\right][/math][br][math]Área_{superior}=\sum_{\left\{i=1\right\}}^{\left\{n\right\}}sup_i\cdot\left(x_i-x_{i-1}\right)[/math][br]De la misma forma el área por "debajo"[br]Llamaremos [math]inf_i=infimo\left(f\left(x\right)\right)[/math] en el intervalo [math]\left[x_{i-1},x_i\right][/math][math]Área_{inferior}=\sum_{\left\{i=1\right\}}^{\left\{n\right\}}inf_i\cdot\left(x_i-x_{i-1}\right)[/math]Cuando la partición se hace más "fina" estas dos áreas se aproximan cada vez más y en el límite serán iguales, y eso será la integral, es decir[br][math]\int_{\left\{a\right\}}^{\left\{b\right\}}f\left(x\right)dx=\lim_{\left\{x\to n \right\}}\sum_{\left\{i=1\right\}}^{\left\{n\right\}}sup_i\cdot\left(x_i-x_{i-1}\right)=\sum_{\left\{i=1\right\}}^{\left\{n\right\}}inf_i\cdot\left(x_i-x_{i-1}\right)[/math]
Propuesta
- Selecciona a y b[br]- Visualiza la función[br]- Mira los rectángulos inferiores y afina la partición eligiendo más puntos[br]- Repite co n los superiores[br]- Ahora visualiza los dos a la vez y varía el nº de puntos[br]- Añade los polígonos de frecuencias
Cáculo de áreas (I)
Integrales
En este caso vemos que como la función en el intervalo [math]\left[a,b\right][/math] es siempre del mismo signo, no terndremos que hacer cálculos y podemos hallar directamente la integral.[br]Si [math]f\left(x\right)[/math]es positiva el área será [math]\int_a^bf\left(x\right)dx[/math][br]Sí [math]f\left(x\right)[/math] es negativa será [math]-\int_a^bf\left(x\right)dx[/math][br]En el caso general que no podamos saberlo podemos tomar[br][math]\left|\int_a^bf\left(x\right)dx\right|[/math]
Propuesta
-En cada caso hallar la integral y comprobar la solución[br]- Determinar en cuál se aplica cada caso