Gegeben sind drei Vektoren [math]\vec{a}[/math], [math]\vec{b}[/math] und [math]\vec{c}[/math]. Das Spatprodukt [math]V=\left|\left(\vec{a}\times\vec{b}\right)\bullet\vec{c}\right|[/math] berechnet direkt das Spatvolumen. Dazu wird das Vektorprodukt, [math]\vec{n}=\vec{a}\times\vec{b}[/math] und dann das Skalarprodukt [math]\vec{n}\bullet\vec{c}[/math] berechnet.
Betrachte den gezeichneten Spat. Finde heraus was die Schieberegler verändern.
a: verändert die Länge des Vektors [math]\vec{a}[/math][br]b: verändert die Länge des Vektors [math]\vec{b}[/math][br]c: verändert die Länge des Vektors [math]\vec{c}[/math][br][math]\varphi[/math]: verändert den Zwischenwinkel zwischen [math]\vec{a}[/math] und [math]\vec{b}[/math][br][math]\vartheta[/math]: verändert den Winkel zwischen [math]\vec{c}[/math] und [math]\vec{a}[/math].
Bei einem Spat wird die Grundfläche von zwei der drei Vektoren aufgespannt. Man kann wählen welche beiden Vektoren die Grundfläche sein sollen. Wähle als erstes die Grundfläche, die von [math]\vec{a}[/math] und [math]\vec{b}[/math] aufgespannt wird. Wie berechnet man den Betrag dieser Grundfläche?
Das Kreuzprodukt [math]\vec{n}=\vec{a}\times\vec{b}[/math] steht senkrecht auf der Grundfläche. Dessen Betrag entspricht genau dem Flächeninhalt dieser Grundfläche: [math]G=\left|\vec{n}\right|=\left|\vec{a}\times\vec{b}\right|=\left|\vec{a}\right|\cdot\left|\vec{b}\right|\cdot\sin\left(\varphi\right)[/math]
Lass dir nun den Normalenvektor [math]\vec{n}[/math] im Bild anzeigen. Für die Berechnung des Volumens muss die Höhe [math]h[/math] des Spats bekannt sein. Wie kann man diese Höhe berechnen?
Berechnet wird h mit dem Skalarprodukt [math]h=\left|\vec{c}\right|\cdot\cos\left(\gamma\right)=\left|\vec{c}\right|\cdot\cos\left(90^{\circ}-\vartheta\right)=\left|\vec{c}\right|\cdot\sin\left(\vartheta\right)[/math]
Lass dir nun auch die Höhe anzeigen (Projektion) und stelle eine Formel zur Berechnung des Spatvolumens mit Hilfe der drei Vektoren [math]\vec{a}[/math], [math]\vec{b}[/math] und [math]\vec{c}[/math], indem du die Erkenntnisse der letzten Aufgaben benutzt.
[math]V=\left|\vec{n}\bullet\vec{c}\right|=\left|\left(\vec{a}\times\vec{b}\right)\bullet\vec{c}\right|[/math]
Lass dir nun die Grundfläche, die von [math]\vec{a}[/math] und [math]\vec{c}[/math] aufgespannt wird, anzeigen. Überlege dir dann wie das Spatvolumen mit dieser Grundfläche berechnet wird. Zeige, dass das Ergebnis identisch bleibt.
[math]V=\left|\left(\vec{a}\times\vec{c}\right)\bullet\vec{b}\right|=\left|\vec{a}\right|\cdot\left|\vec{c}\right|\cdot\sin\left(\vartheta\right)\cdot\left|\vec{b}\right|\cdot\cos\left(90^{\circ}-\varphi\right)=\left|\vec{a}\right|\cdot\left|\vec{c}\right|\cdot\left|\vec{b}\right|\cdot\sin\left(\vartheta\right)\cdot\sin\left(\varphi\right)[/math][br][math]V=\left|\left(\vec{a}\times\vec{b}\right)\bullet\vec{c}\right|=\left|\vec{a}\right|\cdot\left|\vec{b}\right|\cdot\sin\left(\varphi\right)\cdot\left|\vec{c}\right|\cdot\cos\left(90^{\circ}-\vartheta\right)=\left|\vec{a}\right|\cdot\left|\vec{b}\right|\cdot\left|\vec{c}\right|\cdot\sin\left(\varphi\right)\cdot\sin\left(\vartheta\right)[/math]
Finden Sie Einstellungen, für die das Spatprodukt Null ist? Finde auch nicht triviale Fälle!
Das Spatprodukt ist Null, wenn[br][list][*]Mindestens einer der Vektoren Null ist, oder[/*][*]zwei Vektoren kollinear sind oder[/*][*]alle drei Vektoren komplanar sind.[br][/*][/list]