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MDII Clase 3 - Los puntos notables de un triángulo
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1. Los puntos notables
- Mediatriz y circuncentro
- Bisectriz e incentro
- Mediana y baricentro
- Altura y ortocentro
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2. Pendiente, pozos, sandías… y la recta de Euler
- Pendientes, pozos, sandías notables... y la recta de Euler
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3. Practica!
- Elementos notables del triángulo
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MDII Clase 3 - Los puntos notables de un triángulo
Alvaro Nolla, Oct 12, 2022
Puntos notables de un triángulo
Table of Contents
- Los puntos notables
- Mediatriz y circuncentro
- Bisectriz e incentro
- Mediana y baricentro
- Altura y ortocentro
- Pendiente, pozos, sandías… y la recta de Euler
- Pendientes, pozos, sandías notables... y la recta de Euler
- Practica!
- Elementos notables del triángulo
Mediatriz y circuncentro
La mediatriz de un segmento AB es la recta perpendicular al segmento en su punto medio.
Propiedad: Los puntos de la mediatriz se encuentran a la misma distancia de A que de B.
Por tanto, la mediatriz divide al plano en dos regiones, los puntos que están más cercanos a A (la Zona A) y otra con los puntos que están más cercanos a B (la Zona B).
Si se construyen las mediatices de los tres lados de un triángulo se observa ¡que pasan por el mismo punto! Este punto se llama circuncentro (ver la Figura de arriba).
Por la propiedad anterior, el circuncentro está en las tres mediatices (la de los lados AB, AC y BC), por lo que está a la misma distancia de A, de B y de C. Esto hace que el circuncentro sea el centro de una circunferencia que pasa por A, B y C (la circunferencia circunscrita al triángulo ABC).
ACTIVIDAD: En la siguiente ventana realiza los siguientes pasos:
- Construye un triángulo ABC.
- Utiliza la herramienta de mediatriz
para construir las medianas de los 3 lados. - Renombra su punto de intersección como el circuncentro.
- Construye la circunferencia circunscrita.
Mueve la construcción moviendo alguno de los vértices A, B o C y observa qué ocurre con el circuncentro y la circunferencia circunscrita. Contesta a las siguientes preguntas:
¿El circuncentro se encuentra siempre en el interior del triángulo? ¿En qué casos no lo está?
Font sizeFont size
Very smallSmallNormalBigVery big
Bold [ctrl+b]
Italic [ctrl+i]
Underline [ctrl+u]
Strike
Superscript
Subscript
Font colorAuto
Justify
Align left
Align right
Align center
• Unordered list
1. Ordered list
Link [ctrl+shift+2]
Quote [ctrl+shift+3]
[code]Code [ctrl+shift+4]
Insert table
Remove Format
Insert image [ctrl+shift+1]
Insert icons of GeoGebra tools
[bbcode]
Text tools
Insert Math
¿El circuncentro siempre existe? es decir, ¿hay algún momento en donde no se pueda calcular? En ese caso, qué le ocurre a la circunferencia circunscrita?
Font sizeFont size
Very smallSmallNormalBigVery big
Bold [ctrl+b]
Italic [ctrl+i]
Underline [ctrl+u]
Strike
Superscript
Subscript
Font colorAuto
Justify
Align left
Align right
Align center
• Unordered list
1. Ordered list
Link [ctrl+shift+2]
Quote [ctrl+shift+3]
[code]Code [ctrl+shift+4]
Insert table
Remove Format
Insert image [ctrl+shift+1]
Insert icons of GeoGebra tools
[bbcode]
Text tools
Insert Math
Construye en la siguiente ventana un triángulo rectángulo, calcula su circuncentro y contesta a la pregunta que se hace a continuación.
En la construcción que acabas de hacer, ¿en dónde se encuentra exactamente el circuncentro? ¿Por qué?
Font sizeFont size
Very smallSmallNormalBigVery big
Bold [ctrl+b]
Italic [ctrl+i]
Underline [ctrl+u]
Strike
Superscript
Subscript
Font colorAuto
Justify
Align left
Align right
Align center
• Unordered list
1. Ordered list
Link [ctrl+shift+2]
Quote [ctrl+shift+3]
[code]Code [ctrl+shift+4]
Insert table
Remove Format
Insert image [ctrl+shift+1]
Insert icons of GeoGebra tools
[bbcode]
Text tools
Insert Math
Pendientes, pozos, sandías notables... y la recta de Euler
ACTIVIDAD 1. Los pendientes.
Suponiendo que el material con el que están hechos los pendientes tienen la misma densidad, ¿cuál es el centro de gravedad de los pendientes de la figura?
ACTIVIDAD 2. ¿En qué posición tenemos que colocar el pozo para que esté a la misma distancia de las tres casas?
Dibújalo en la siguiente ventana:
ACTIVIDAD 3. Tenemos una sandía con forma de triángulo y queremos cortar un trozo circular. ¿Cómo podríamos hacerlo para obtener el mayor círculo posible?
Dibújalo en la siguiente ventana:
ACTIVIDAD 4. Los puntos notables de un triángulo.
Construye los cuatro puntos notables (baricentro, circuncentro, incentro y ortocentro) del triángulo ABC que aparece en la siguiente ventana, siguiendo los pasos indicados más abajo.
Escondiendo los punto, rectas,… auxiliares que vas utilizando para construirlos, debes de llegar a una construcción similar a la que aparece en la siguiente figura:
Pasos a seguir:
- Construye un triángulo cualquiera ABC.
- Construye el baricentro del triángulo ABC (recuerda que el baricentro es la intersección de las tres medianas del triángulo). Utiliza la herramienta "medio o centro"
. - Renombra el punto como "baricentro" y haz que la etiqueta sea visible.
- Esconde las tres medianas, que solo quede visible el baricentro.
- Construye el incentro del triángulo ABC (recuerda que el incentro es las intersección de las tres bisectrices del triángulo). Utiliza la herramienta "bisectriz"
. - Renombra el punto como "incentro" y haz que la etiqueta sea visible.
- Comprueba que efectivamente es el incentro dibujando la circunferencia inscrita del triángulo.
- Esconde las tres bisectrices.
- Construye el circuncentro del triángulo ABC (recuerda que el circuncentro es la intersección de las tres mediatrices del triángulo). Utiliza la herramienta "mediatriz" .
- Renombra el punto como "circuncentro" y haz que la etiqueta sea visible.
- Comprueba que efectivamente es el circuncentro dibujando la circunferencia circunscrita del triángulo.
- Esconde las tres mediatrices.
- Construye el ortocentro del triángulo ABC (recuerda que el ortocentro es la intersección de las tres alturas del triángulo). Utiliza la herramienta "perpendicular"
. - Renombra el punto como "ortocentro" y haz que la etiqueta sea visible.
- Esconde las tres alturas.
- En este momento deberías de tener visible solamente el triángulo y los cuatro puntos notables del triángulo ABC: el baricentro, el incentro, el circuncentro y el ortocentro. Haz que el triángulo cambie de forma (pinchando en uno de los vértices y arrastrándolo) y observa cómo se mueven los cuatro puntos. ¡Explora!
Después de realizar el paso 16 anterior, contesta a las siguientes preguntas:
Pregunta 1
¿Existe un tipo de triángulo en donde los cuatro puntos coinciden? Explica por qué.
Font sizeFont size
Very smallSmallNormalBigVery big
Bold [ctrl+b]
Italic [ctrl+i]
Underline [ctrl+u]
Strike
Superscript
Subscript
Font colorAuto
Justify
Align left
Align right
Align center
• Unordered list
1. Ordered list
Link [ctrl+shift+2]
Quote [ctrl+shift+3]
[code]Code [ctrl+shift+4]
Insert table
Remove Format
Insert image [ctrl+shift+1]
Insert icons of GeoGebra tools
[bbcode]
Text tools
Insert Math
Pregunta 2
¿Existe un tipo de triángulo en donde los cuatro puntos están alineados? Explica por qué.
Font sizeFont size
Very smallSmallNormalBigVery big
Bold [ctrl+b]
Italic [ctrl+i]
Underline [ctrl+u]
Strike
Superscript
Subscript
Font colorAuto
Justify
Align left
Align right
Align center
• Unordered list
1. Ordered list
Link [ctrl+shift+2]
Quote [ctrl+shift+3]
[code]Code [ctrl+shift+4]
Insert table
Remove Format
Insert image [ctrl+shift+1]
Insert icons of GeoGebra tools
[bbcode]
Text tools
Insert Math
¡¡Última pregunta!! Existe una relación entre 3 de los 4 puntos notables de un triángulo (baricentro, circuncentro, incentro y ortocentro). ¿Sabrías decir cuál es? Explícala más abajo y dibuja esta relación en la ventana de arriba.
Pista: Euler sabía mucho de triángulos...
Font sizeFont size
Very smallSmallNormalBigVery big
Bold [ctrl+b]
Italic [ctrl+i]
Underline [ctrl+u]
Strike
Superscript
Subscript
Font colorAuto
Justify
Align left
Align right
Align center
• Unordered list
1. Ordered list
Link [ctrl+shift+2]
Quote [ctrl+shift+3]
[code]Code [ctrl+shift+4]
Insert table
Remove Format
Insert image [ctrl+shift+1]
Insert icons of GeoGebra tools
[bbcode]
Text tools
Insert Math
Elementos notables del triángulo
Instrucciones
Teoría
Lee la descripción de las diferentes rectas y puntos notables, y observa cómo cambia su posición al modificar el triángulo.
Podemos probar a ver cómo se comportan con los diferentes tipos de triángulo que conocemos (equilátero, isósceles, rectángulo, obtusángulo,...)
Juego
Nuestros amigos han dibujado algunos cuadros con triángulos y elemetos asociados a ellos.
Pulsando el botón "A Jugar", nos preguntarán sobre esos elementos.
- Conociendo las rectas y puntos notables y observando cómo cambia el dibujo al mover los puntos azules, podremos averiguar la respuesta.
- Para responder, pulsamos sobre el pincel correspondiente.
- Podemos arrastrar los pinceles para cambiarlos de posición.
- Cada pregunta correcta vale 1 punto, pero cada fallo nos penalizará 1 punto.
- Podemos intentar tantas preguntas como queramos. Siempre se conservará la puntuación más alta alcanzada.
- La puntuación máxima es 10 puntos. Al alcanzarla, el fondo de la pantalla pasará a ser verde.
Saving…
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