E15 Egy alapelemű aperiodikus királis csempézés
Vajon melyek azok a síkgeometriai alakzatok, amelyek egybevágó példányaival hézagmentesen, egy rétegben lefedhető a sík? [br]Létezik-e [u]véges sok [/u]olyan alakzat, amelyek alkalmasak az aperiodikus lefedésre, vagyis olyanra, amely eltolással nem vihető át önmagába?[br]A kérdésnek komoly matematikatörténeti [url=https://en.wikipedia.org/wiki/Einstein_problem]múltja és [b]jelene[/b] van[/url].[br]Először egy 6 elemből álló erre alkalmas készlettel sikerült megoldani a problémát, majd 1974-ben [url=https://en.wikipedia.org/wiki/Roger_Penrose]Roger Penrose[/url] meg tudta oldani ugyanezt a kérdést egy mindössze [url=https://en.wikipedia.org/wiki/Penrose_tiling]két elemű készlettel[/url]. [br]Azóta ebben a kérdésben nem történt jelentős előrelépés. [br][br]Mígnem 2023. márciusában [url=https://www.youtube.com/watch?v=OImGgciDZ_A]Smith úr[/url], egy [url=https://en.wikipedia.org/wiki/Newtyle]skót falu[/url]ban élő nyugdíjas nyomdatechnikus, egy [url=https://www.jaapsch.net/puzzles/polysolver.htm]puzzle feladatokra kihegyezett [/url]programmal "játszva" fedezte fel, hogy egyetlen alapelem is elegendő a sík nem periodikus lefedéséhez. Ezt három, e témában jártas matematikus elemezte egy [url=https://arxiv.org/abs/2303.10798]márciusban leadott dolgozatban.[br][/url]Bár az itt bemutatott nem periodikus lefedéshez egy elem is elegendő, de fel kell használni az elem tükörképét is.[br][br][url=https://arxiv.org/abs/2305.17743]2023. május végén[/url] ugyanezek a szerzők egy újabb dolgozatot nyújtottak be, amelyben az egyetlen elemnek csak ugyanazt a királis (azonos körüljárású) változatát használták a nem periodikus hézagmentes lefedéséhez, amit - nagyon szellemesen -"szellem"-nek neveztek el. Mi több: ezzel az elemmel [b]kizárólag nem periodikusan [/b]fedhető le a sík. Ezzel periodikus csempézés nem állítható elő.
A fenti ábrához kapcsolódóan került kitűzésre [url=https://www.komal.hu/feladat?a=feladat&f=C1789]ez a KöMaL feladat[/url].
Addig amíg a márciusi - nem királis - lefedés alapelemeinek a csúcsai egy háromszögrács pontjaira illeszkedtek, az új változatnál ez már nem így van. [br]A "szellem" olyan 14 oldalú sokszög, amelynek az oldalai egységnyiek, szögeik váltakozva ±90° és ±120°. Kivéve egyet, amely 180°-os. Így a vizsgált alakzat 13 oldalú sokszögnek is tekinthető.
Talán könnyebb dolgunk lenne az alapalakzat kézbe vehető példányaival lefednünk a sík egy darabját, most azonban arra teszünk kísérletet, hogy ezt a parkettázást a GeoGebra felhasználásával próbáljuk meg. [br][br]Az alábbi appletben [b] [color=#ff0000]N[/color][/b] és[b] [color=#0000ff]M[/color] [/b]dinamikusan mozgatható pont. [br][list][*][b][color=#ff0000]N[/color] [/b]a kezdő elem belső pontja, ezzel választhatjuk ki azt a csúcsot, amelyet a már felvett elemek szélén lévő [b][color=#0000ff]M[/color] [/b]-el kiválasztott csúcspontba szeretnénk illeszteni. [/*][*]Ha [b][color=#ff0000]N[/color][/b] a kezdő elem kiválasztott csúcspontjába, [b][color=#0000ff]M[/color] [/b]a már lerakott alakzatok valamelyik csúcspontjába kerül, akkor jelenik meg a a lerakandó elem elfordítását vezérlő csúszka, és annak a lehetősége, hogy a kiválasztott helyre rögzítsük az így beállított elemet.[/*][*]Az applet alkalmazása közben előfordulhat, hogy rossz helyre tettük le a "kézbe vett szellemet", ezért van lehetőség arra, hogy visszavonjuk az elhamarkodott rögzítést. Sőt az is előfordulhat, hogy jóval később derül ki, hogy a kövezés valahol nem folytatható, így több elemet is visszaszedhetünk.[/*][*]Ha a [i]szerkesztés [/i]kapcsolóval felfüggesztjük a munkát, meg tudjuk nézni, hogy [url=https://en.wikipedia.org/wiki/Einstein_problem]e cikk szerzői [/url]milyen kövezést tekintettek folytathatónak. Ez persze nem jelenti azt, hogy csak ez az egyetlen járható út.[br][/*][/list]
[list][*]... el tudunk-e lényegesen térni az említett cikkek alapján ajánlott elrendezéstől? [br]Például próbáljunk elhelyezni az kezdő alapelem köré hat, (vagy több) "szellemet" úgy, hogy lehetséges legyen minden irányban a csempézés folytatása.[br][br][/*][*]... az ajánlott elrendezést vizsgálva észrevehető, hogy a sötétebb színnel kiemelt "szellem" -hez minden esetben ugyanúgy csatlakozik egy, amellyel együtt egy tengelyesen szimmetrikus alakzatot alkot. Nevezzük ezt a kettőst - házi használatra - "Buddhának", mivel e két "szellem" közös kontúrja a Buddha szobrokra emlékeztet. [br][br][/*][*]... az említett kiemelt elemek - durván - szabályos háromszögrácsot alkotnak. Az, hogy milyen irányban állnak egymáshoz viszonyítva Buddha formáját szemlélve jobban nyomon követhető.[/*][/list]
[i]Buddha:[/i] két "szellem"-ből álló [br]tengelyesen szimmetrikus alakzat.
A fenti "felhasznált irodalom" ábráin azt láthattuk, hogy a már lerakott alapelemeket -[i]szellemeket[/i]- többnyire 9 elemű csoportokra - a cikk szóhasználatát követve [i]klaszterekre [/i]- osztotta. Minden klaszterben azonos a szellemek elrendezése. Ez ad lehetőséget arra, hogy egy ezeket a klasztereket egymáshoz illesztve lényegében kilencesével folytathassuk a sík lefedését. [br][br]Az alábbi appletben fixen rögzítettünk kilenc szellemet, ezt tekinthetjük első klaszternek. A fenti applet eljárását erre alkalmazva az [b]NM[/b] vektor és [b] α [/b]megfelelő megválasztását követve rögzíthetünk- - vagy szükség esetén törölhetünk - egy egy új klasztert.[br][br]A klaszterek kontúrjai elég cikk-cakkosak ahhoz, hogy segítség nélkül megfelelően egymáshoz illesszük őket. A "szerzői" megoldás láthatósága sokat segíthet a megoldás megtalálásában. [br][br]Az alábbi applet bal felső sarkában van egy három állapotú kapcsoló, ezzel szabályozható, hogy a szellemek, vagy klasztereik összeillesztésével, vagy csak kapcsolataik elemzésével foglalkozzunk-e. [br][br]Az alábbi applet alkalmazóira bízzuk annak a felderítését, hogy e szöveg elején miért van szükség a [u]többnyire[/u] szó használatra. [u] Van-e olyan klaszter, amelyet nem 9 szellem alkot? [/u]
Felhívjuk a GeoGebra fájlok táblázatainak a használatában jártas olvasóink figyelmét, hogy ezt a programot letöltve és offline üzemmódban használva, megnyílik a lehetőségük arra, hogy [br][list][*] az ideiglenesen félbehagyott parkettázást máskor folytassák;[/*][*] a lerakott elemeket tetszőlegesen színezzék;[/*][*]bővítsék az itt 100 szellem és 30 klaszter lerakására maximált programot;[/*][*]elemezzék a lerakott alakzatok -és kaszterek - közötti matematikai kapcsolatokat, [/*][*]másutt is alkalmazzák e programban használt technikai fogásokat.[br][/*][/list]
Az, hogy "kitapogatjuk" a kézbe vett alapelem, vagy kalszter legcélszerűbb elhelyezését, messze nem elegendő ahhoz, hogy ezzel igazoljuk: az alapelemekkel valóban kikövezhető a sík, és ezt csak aperiodikus módon tehetjük meg. [br][br]Ehhez - minden bizonnyal - olyan algoritmust kellene megadnunk, amellyel egyre nagyobb és nagyobb klasztereket lehetne előállítanunk, amelyek alkalmasak egy ilyen kövezésre.
Előfordulhat, hogy az egymással egybevágó klaszterekkel történő lefedés csak úgy folytatható, ha egy-egy alapelem (szellem) két klaszter metszete, így ezt duplán is lefedtük. Ez lényegében nem baj, magának a problémának a megoldhatóságát nem befolyásolja. Azt mondhatjuk, hogy vannak 9 és 8 alapelemű klasztereink, és ezekből "kell" kialakítanunk egy nagyobb klasztert, aminek ugyancsak lehet a fenti értelemben vett hiányos változata. [br][b]És így tovább. [/b]...[br]Nos, e sorok írója ezt a - lényegében a teljes indukció alkalmazásából ismert "... és így tovább ..." lépést egyelőre nem látja. Bár... lehet, hogy van ilyen. [br][url=http://www.model.u-szeged.hu/cd/content/szilassi/Euler3d-kurzus/04%20%20%20A%20kocka%20feldarabol%25a0sa/A%20k%B4-%C1elked%B4-+%20joga.pdf]A kételkedés joga - és kötelessége [/url]azonban bizonyára ott van mindannyiunk gondolataiban.