...[url=https://www.geogebra.org/m/pX7a97q5#material/JhDr1zb2]a forgatva nyújtás itt tárgyalt összefüggéséhez[/url], amely röviden összefoglalva arról szólt, hogy k[b]özös a centrumuk [/b]azoknak a forgatva nyújtásoknak, amelyek a négyszög szemközti oldalait egymásba viszik át.[br] A továbbiakban ennek az összefüggésnek egy fontos alkalmazásáról lesz szó.[br] Erről:   [list][*]Az [i][b]ABCΔ[/b] [/i]pontjai rendre úgy mozognak a sík [b]a, b, c [/b]egyenesén, hogy eközben a háromszög hasonló marad önmagához.  Mit írnak le ez alatt a síknak az [b][i]A, B, C[/i] [/b]pontokkal együtt mozgó pontjai?[br][/*][/list]Ugyanez a probléma az [url=https://www.antikvarium.hu/konyv/elemi-matematika-ii-59538-0]ELTE TTK Elemi Matematika II. (Szerk. Molnár Emil, Tankönyvkiadó 1990) [/url]jegyzetében megfogalmazott formában: [br][list][*]Ha egy [i]F[/i] alakzat úgy változik önmagához hasonlóan , hogy az [i]A, B, C[/i] pontjai közös ponton át nem menő egyeneseken mozognak, akkor az [i]F [/i]alakzat minden pontja egyenest ír le.[/*][/list]Ez a megfogalmazás megkímél bennünket attól, hogy mi derítsük ki a sejtést, bár ez a GeoGebra eszköztárát használva ez nem okozna nehézséget. Másrészt kizárja azt a lehetőséget, hogy a három egyenes egy pontra illeszkedjen. [br]Ezt endedjük meg. Sőt azt is, hogy a három egyenes közül kettő essen egybe.

... a feltételeinknek eleget tevő [i]ABC[/i] háromszöggel együtt mozgó [i]D[/i] pont valóban egy egyenest ír le. [br][br]Vizsgáljuk meg lépésenként ( a ▶ gombbal) az alábbi appletet.[br][list=1][*]Az [i][b]A[sub]0[/sub]B[i][sub]0[/sub][/i]C[i][sub]0[/sub]D[sub]0[/sub][/i][/b][/i] négyszög[b] [/b]csúcsai szabad alakzatok, az [b][i]A[/i][sub]0[/sub][i], B[sub]0[/sub], [/i][i]C[/i][sub]0 [/sub][/b]pontokra illeszkedő egyenesek egy-egy további ⧫ pontja szintén. A rácsot bekapcsolva megvizsgálhatók a konstrukció speciális esetei is. Pl. mi történik akkor, ha az adott egyenesek közül bármely kettő, vagy mindhárom párhuzamos? Mi történik, ha mindhárom egyenes egy pontra illeszkedik? Előfordulhat-e olyan eset, amikor a négyszög valamely csúcsa helyben marad?[/*][*]A feltételeknek eleget tevő [b][i]ABCD [/i][/b]négyszöget az [i][b]a [/b][/i]egyenesen mozgó félig kötött [b]A[/b] pont egyértelműen meghatározza. [br]Az [b]A[sub]0[/sub]B[sub]0[/sub]C[sub]0 [/sub]Δ[/b] adataiból leolvasható, hogy milyen [b]A[/b] csúcsú forgatva nyújtással állítható elő a [i][b]B∈b [/b][/i]illeszkedést kihasználva a [b]C[/b],[i] [/i]majd ebből a [b]B[/b] pont [/*][*]Ugyanígy szerkeszthető az [b][i]A[/i][sub]0[/sub][i]B[sub]0[/sub]D[/i][i][sub]0 [/sub]Δ[/i][/b] adataiból a [b]D[/b] pont.[br][br][/*][*]Itt kezdődik az állítás igazolása. Ehhez fogjuk felhasználni [url=https://www.geogebra.org/m/JhDr1zb2]a forgatva nyújtás itt tárgyalt tulajdonságait[/url].[br]Megszerkesztjük annak a forgatva nyújtásnak a [i][b]K[/b][/i][b] [/b]centrumát, amely az[i] [/i][b]A[sub]0[/sub]B[sub]0[/sub][/b] szakaszt a [b][i]AB[/i][/b]-be viszi át. Ez a forgatva nyújtás lényegében az egész [b][i]A[sub]0[/sub]B[sub]0[/sub]C[sub]0[/sub]D[sub]0[/sub] [/i][/b]négyszöget az [b][i]ABCD [/i][/b]négyszögbe viszi.[b] [/b][b] [/b] [/*][*]Ugyanez a [b] K [/b]pont a centruma annak a forgatva nyújtásnak is, amely az [b][i]a=A[sub]0[/sub]A[/i][/b][i] [u] [/u][/i][u]egyenest[/u] a [b][i]B[sub]0[/sub]B[/i][/b] egyenesbe viszi. Ha a forgatás szöge az [b][i]A[sub]0[/sub]KD[sub]0[/sub]∢[/i][/b] , a nyújtás aránya [i][b]KD[sub]0[/sub]/KA[sub]0[/sub][/b][/i] akkor ez a forgatva nyújtás az [b][i]a=A[sub]0[/sub]A[/i][/b][i] [/i]egyenest[i] [/i]éppen[sub] [/sub][b][i]d=D[sub]0[/sub]D[/i][/b] [u]egyenesbe[/u] viszi át. Ezt kellett igazolnunk.[/*][/list]

... az 1. lépésben fel tudunk venni több olyan speciális esetet is - pl. [b][color=#93c47d]B[sub]0[/sub][/color][/b][b]∈[color=#ff0000]a[/color][/b] , vagy [b][color=#ff0000]a[/color], [color=#93c47d]b[/color], [color=#0000ff]c[/color][/b] egy pontra illeszkedik -, amelyek nem alkalmasak a 4. és 5. lépés elvégzésére, így az általános tétel igazolására. Bár az [b][color=#ff0000]ABCD[/color][/b] négyszög, így a [b][color=#ff00ff]d=(D[sub]0[/sub],D)[/color][/b] egyenes ezekben az esetekben is megszerkeszthető. Többnyire kezelhetjük erős sejtésként, hogy az így kapott [b][color=#ff00ff]d[/color][/b] egyenes sem függ az [b][color=#ff0000]A[/color][/b] pont megválasztásától. Mindezt másképpen kell(ene) igazolnunk. [br]Az itt [b][color=#9900ff]bizonyítot[/color][/b]t ill. csak [b][color=#ff00ff]sejtett[/color][/b] eseteket [b]d[/b] színével különböztettük meg. [br]