...a forgatva nyújtás itt tárgyalt összefüggéséhez, amely röviden összefoglalva arról szólt, hogy közös a centrumuk azoknak a forgatva nyújtásoknak, amelyek a négyszög szemközti oldalait egymásba viszik át. A továbbiakban ennek az összefüggésnek egy fontos alkalmazásáról lesz szó. Erről:  

• Az ABCΔ pontjai rendre úgy mozognak a sík a, b, c egyenesén, hogy eközben a háromszög hasonló marad önmagához.  Mit írnak le ez alatt a síknak az A, B, C pontokkal együtt mozgó pontjai?

Ugyanez a probléma az ELTE TTK Elemi Matematika II. (Szerk. Molnár Emil, Tankönyvkiadó 1990) jegyzetében megfogalmazott formában:

• Ha egy F alakzat úgy változik önmagához hasonlóan , hogy az A, B, C pontjai közös ponton át nem menő egyeneseken mozognak, akkor az F alakzat minden pontja egyenest ír le.

Ez a megfogalmazás megkímél bennünket attól, hogy mi derítsük ki a sejtést, bár ez a GeoGebra eszköztárát használva ez nem okozna nehézséget. Másrészt kizárja azt a lehetőséget, hogy a három egyenes egy pontra illeszkedjen. Ezt endedjük meg. Sőt azt is, hogy a három egyenes közül kettő essen egybe.

... a feltételeinknek eleget tevő ABC háromszöggel együtt mozgó D pont valóban egy egyenest ír le. Vizsgáljuk meg lépésenként ( a ▶ gombbal) az alábbi appletet.

1. Az A₀B₀C₀D₀ négyszög csúcsai szabad alakzatok, az A₀, B₀, C₀ pontokra illeszkedő egyenesek egy-egy további ⧫ pontja szintén. A rácsot bekapcsolva megvizsgálhatók a konstrukció speciális esetei is. Pl. mi történik akkor, ha az adott egyenesek közül bármely kettő, vagy mindhárom párhuzamos? Mi történik, ha mindhárom egyenes egy pontra illeszkedik? Előfordulhat-e olyan eset, amikor a négyszög valamely csúcsa helyben marad?
2. A feltételeknek eleget tevő ABCD négyszöget az a egyenesen mozgó félig kötött A pont egyértelműen meghatározza. Az A₀B₀C₀ Δ adataiból leolvasható, hogy milyen A csúcsú forgatva nyújtással állítható elő a B∈b illeszkedést kihasználva a C, majd ebből a B pont
3. Ugyanígy szerkeszthető az A₀B₀D₀ Δ adataiból a D pont.
4. Itt kezdődik az állítás igazolása. Ehhez fogjuk felhasználni a forgatva nyújtás itt tárgyalt tulajdonságait. Megszerkesztjük annak a forgatva nyújtásnak a K centrumát, amely az A₀B₀ szakaszt a AB-be viszi át. Ez a forgatva nyújtás lényegében az egész A₀B₀C₀D₀ négyszöget az ABCD négyszögbe viszi.
5. Ugyanez a K pont a centruma annak a forgatva nyújtásnak is, amely az a=A₀A egyenest a B₀B egyenesbe viszi. Ha a forgatás szöge az A₀KD₀∢ , a nyújtás aránya KD₀/KA₀ akkor ez a forgatva nyújtás az a=A₀A egyenest éppen d=D₀D egyenesbe viszi át. Ezt kellett igazolnunk.

... az 1. lépésben fel tudunk venni több olyan speciális esetet is - pl. B₀∈a , vagy a, b, c egy pontra illeszkedik -, amelyek nem alkalmasak a 4. és 5. lépés elvégzésére, így az általános tétel igazolására. Bár az ABCD négyszög, így a d=(D₀,D) egyenes ezekben az esetekben is megszerkeszthető. Többnyire kezelhetjük erős sejtésként, hogy az így kapott d egyenes sem függ az A pont megválasztásától. Mindezt másképpen kell(ene) igazolnunk. Az itt bizonyított ill. csak sejtett eseteket d színével különböztettük meg.