Ziel ist es, den lokalen Anstieg einer Funktion an einer Stelle als Grenzwert zu berechnen und die h-Methode zu visualisieren.

[list=1][*]Beschreiben Sie den Grundgedanken der schrittweisen Annäherung an die Tangente an den Graphen von f im Punkt P[sub]0[/sub]. [/*][*]Warum muss h ungleich Null sein?[/*][*]Welcher Grenzprozess wird gesucht? Formulieren Sie "Wenn ..., dann ...." - Sätze.[/*][*]Berechnen Sie den Anstieg der Tangente im Punkt P[sub]0[/sub] durch Grenzwertberechnung.[/*][*]Kontrollieren Sie Ihre Ergebnisse und Ändern Sie die Stelle x[sub]0.[/sub] Arbeiten Sie erneut.[/*][/list]

[code][/code]Der Anstieg der Sekante an der Graphen einer Funktion f an der Stelle x[sub]0[/sub] beim Wert h ([math]h\ne0[/math]) wird auch als [u]Differenzenquotient[/u] bezeichnet. Bei jeder Stelle x[sub]0[/sub] hängt der Wert des Differenzenquotienten von der Hilfsgröße h ab.[br]Wenn der Grenzprozess [math]h\longrightarrow0[/math] beim Differenzenquotienten zu einen Grenzwert führt, nennt man diesen Grenzwert auch[u][i] Differenzialquotient von f an der Stelle x[sub]0[/sub][/i][/u]. [br]Dieser Differenzialquotient wird als [u][i][b]erste Ableitung von f an der Stelle x[sub]0[/sub][/b][/i][/u] bezeichnet und formal mit f'(2) gekennzeichnet. [br]Die Funktion f heißt [u]an dieser Stelle x[sub]0 [/sub]differenzierbar[/u].[br]

Für das oben bearbeitete Beispiel gilt also:[br][list][*][i]Für die Funktion [/i][math]f:f(x)=x^2[/math][i] hat der Grenzwert des Differenzenquotienten an der Stelle 1 für h gegen Null den Grenzwert 2.[br][/i][/*][*][i]Die Funktion [/i][math]f[/math][i] mit [/i][math]f\left(x\right)=x^2[/math][i] hat an der Stelle 1 den Anstieg 2.[br][/i][/*][*][i]Die Funktion [/i][math]f[/math][i] mit [/i][math]f\left(x\right)=x^2[/math][i] hat an der Stelle 1 die erste Ableitung 2.[br][/i][/*][*][i]Die erste Ableitung der Funktion [math]f:f\left(x\right)=x^2[/math][/i] an der Stelle 1 hat den Wert 2[/*][*][i]Für [/i][math]f(x)=x^2[/math][i] gilt: [/i][math]f'\left(2\right)=2[/math][i].[/i][br][/*][/list][i][b]Alle dies Formulierungen haben mathematisch die gleiche Bedeutung![/b][/i]