Na Grécia antiga, a palavra número era usada só para os inteiros e uma fração era considerada apenas uma razão entre números. Estes conceitos, naturalmente, causavam dificuldades nas medidas das grandezas. A noção de número real estava ainda muito longe de ser concebida, mas, na época de Euclides (século III aC) uma idéia nova apareceu. As grandezas, no lugar de serem associadas a números, passaram a ser associadas a segmentos de reta. Assim, o conjunto dos números continuava discreto e o das grandezas contínuas passou a ser tratado por métodos geométricos. Nasce então nesse período uma nova álgebra, completamente geométrica onde a palavra resolver era sinônimo de construir. Nessa álgebra, por exemplo, a equação ax = b não tinha significado porque o lado esquerdo era associado à área de um retângulo, o lado direito a um segmento de reta e um segmento não pode ser igual a uma área. Entretanto, resolver a equação ax = bc significava encontrar a altura x de um retângulo de base a que tivesse a mesma área de um retângulo de dimensões b e c. Vamos mostrar como esse problema era resolvido na Grécia antiga.[br][br]Dividiremos as construções em duas partes, a primeira será para construirmos um Retângulo OADB, a segunda será para solucionar o problema ax=bc.[br]Para essas construções usaremos a construção de retas perpendiculares (que possuem 90 graus entre si)[br]Essa construção se dá da seguinte forma:[br]Dada um ponto H em uma reta J construímos uma reta perpendicular a J que passa por H da seguinte maneira:[br]1) Construímos uma circunferência (C1) com centro H e uma medida de raio qualquer.[br]2) Marcamos as interseções (i1 e i2) entre a circunferência e a reta J.[br]3) Construímos duas circunferências (C2 e C3) de raio maior que C1 com centro em i1 e i2 respectivamente.[br]4) Marcamos uma interseção (i3) entre C2 e C3 (que nesse caso, irá definir para qual semi plano formado por R1 o retângulo será construído, ou seja, qual lado construiremos ele).[br]5) Traçamos a reta K que contém H e i3.[br][br]Dessa forma K e J são perpendiculares.[br]A partir desse momento vamos somente utilizar como passo da construção “construa uma reta perpendicular” o que envolve esses 5 passos.[br][br]Construção do retângulo:[br]1) Construa uma reta (R1) e defina sobre ela os pontos O e A.[br]2) Construa uma reta (R2) perpendicular a R1 que contenha o ponto O.[br]3) Construa uma circunferência (C4) com um raio estritamente maior ou estritamente menor que a distancia OA com centros em O e A respectivamente.[br]4) Marque uma interseção (B) entre C4 e R2.[br]5) Construa uma Reta (R3) perpendicular a R2 que contenha o ponto B.[br]6) Construa uma Reta (R4) perpendicular a R1 que contenha o ponto A.[br]7) Marque a interseção (D) entre R3 e R4.[br]8) Construa os segmentos OA, AD, DB e BO tal que D seja o ponto que está contido em R2.[br][br]Construção que soluciona o problema ax=bc:[br]1) Marque o ponto C sobre R1 e construa o segmento OC.[br]2) Construa uma Reta (R5) perpendicular a R1 que contenha o ponto C.[br]3) Marque a interseção (E) entre R5 e R3.[br]4) Construa a Reta (R6) que contém os pontos O e D e marque a interseção (P) entre R5 e R6.[br]5) Construa uma Reta (R7) perpendicular a R5 que contenha o ponto P.[br]6) Marque as interseções (X e Y) entre R7 e R2 e R7 e R4 respectivamente.[br]7) Marque o segmento OX.