[br][br]Vogliamo approssimare, in un intorno di x=0,  la funzione y= sinx  con un polinomio.[br][br]Ripassiamo le proprietà della funzione [math]y=sinx[/math][br][list][*]La funzione [math]y=sinx[/math] ha come dominio tutti i reali, come codominio l'insieme [math][-1,+1][/math][/*][*]E' una funzione periodica di periodo [math]2\pi[/math] [/*][*]La funzione [math]y=sinx[/math] è una funzione dispari[/*][/list][br]Per rispettare la [b]simmetria della funzione[/b], anche l’approssimazione deve essere fatta con un [b]polinomio dispari[/b] (cioè con solo potenze pari: [math]x^1[/math], [math]x^3[/math], [math]x^5[/math], [math]x^7[/math], ...) perchè avrebbe la stessa proprietà di simmetria.[br]Un polinomio con termini pari romperebbe questa simmetria, quindi le proprietà della funzione seno. [br]Disegna con geogebra la funzione [math]y=sinx[/math].

[list][*]Approssimiamo, in un intorno di [math]x=0[/math], la funzione [math]y=sinx[/math] con un polinomio di 1° grado (primo polinomio di grado dispari). Un polinomio di 1° grado è semplicemente una [b]retta [/b] ovvero [math]P_{_1}\left(x\right)=mx+q[/math] e se calcoliamo il [b]polinomio di grado 1° [/b]in [math]x=0,[/math] abbiamo [math]P_1\left(0\right)=m\cdot0+q[/math] cioè [math]P_1\left(0\right)=q[/math]. [list][*]Poiché abbiamo visto che [math]sin(0)=0[/math], abbiamo che[math]P_1\left(0\right)=sin\left(0\right)=0[/math] , quindi [math]q=0[/math]e la retta passa per l'origine.[/*][/list]Di conseguenza il polinomio approssimante di primo grado è: [math]P_1\left(x\right)=mx[/math].[/*][/list]Ci chiediamo quale potrebbe essere il il valore di [math]m[/math] che renda l'approssimazione polinomiale della funzione [math]y=sinx[/math] la migliore possibile. [br]Per valutare il valore di [math]m[/math] e quanto l'approssimazione della funzione y=sinx con un polinomio di 1° grado sia "buona", possiamo fare valutazioni di diversa natura:[br][list][*]una valutazione intuitiva, utilizzando Geogebra, dalla quale determiniamo il valore di [math]m[/math] ;[/*][*]una valutazione algebrica di [math]m[/math] , utilizzando un foglio di calcolo.[/*][/list][br]Usa geogebra: [br]1. inserire la funzione [math]y=sinx[/math], [br]2. inserisci il polinomio [math]P_{_1}\left(x\right)=mx[/math][br]3. Si crea automaticamente uno slider [math]m[/math][br][br]Per capire quale potrebbero essere il [b]segno[/b] e il [b]valore[/b] di [math]m[/math], fai dei tentativi, variando il valore dello slider. Ricordati che puoi animare lo slider, regolando la velocità del movimento, per osservare meglio la posizione tra la funzione e il polinomio. Se necessario, modifica nelle impostazioni dello slider, il valore minimo e il valore massimo.

Usa il foglio elettronico di Geogebra per valutare quanto sia buona l'approssimazione con un polinomio di primo grado.[br]Completa la tabella presente nel foglio elettronico del file di Geogebra che segue, inserendo opportune formule nelle celle del foglio di calcolo; nella tabella sono visualizzati i valori con 5 cifre decimali. [br]Nella prima colonna sono stati inseriti alcuni valori, sempre più "vicini" allo zero. Nella seconda colonna vengono calcolati i rispettivi valori del seno e nella terza colonna vengono determinati i valori delle [b]distanze SP[/b] ([math]\left|y_S-y_P\right|[/math]) , che possono fornire una indicazione del grado di approssimazione tra le due curve: più la distanza SP tra le due curve è piccola più è buona l'approssimazione. [br]

Se rappresenti entrambe le funzioni su un file di geogebra, ti accorgerai che l'approssimazione è buona solo in un intorno piccolissimo di [math]x=0[/math]. Infatti, fissa un valore di[math]x[/math], a tale valore corrisponderà un punto S sulla curva esponenziale e un punto P sulla funzione polinomiale. La [b]distanza SP[/b] tra le ordinate di tali punti ([math]\left|y_S-y_P\right|[/math]) può fornire una indicazione del grado di approssimazione tra le due curve: più la distanza SP tra le due curve è piccola più è buona l'approssimazione. Completa la seguente tabella inserendo opportune formule nel foglio di calcolo. [br]Nella finestra grafica, invece, sposta il punto P (e quindi la sua ascissa) e visualizza come l'approssimazione indicata dalla distanza SP , tra la funzione seno e il polinomio, migliori man mano che l'ascissa di P si avvicina a 0.

Usando geogebra costruisci tu la visualizzazione della distanza che c'e tra la funzione [math]y=sin\left(x\right)[/math] e il polinomio approssimante al variare delle [math]x[/math] prese in un intorno di [math]x=0[/math]. [br]N.B. segui il seguente percorso:[list=1][*]traccia la funzione seno [math]y=sin\left(x\right)[/math];[/*][*]traccia la funzione polinomiale [math]P_1\left(x\right)=x[/math];[/*][*]traccia la retta [math]x=a[/math];[/*][*]si introdurrà automaticamente uno slider che mi farà variare le[math]x[/math] scelte; [/*][*]visualizzare, con il comando intersezione, i punti S e P che appartengono rispettivamente alle due funzioni e corrispondenti alla [math]x[/math] scelta; (prendi un punto vincolato alla funzione seno e traccia per tale punto una retta parallela all'asse y passante per il punto vincolato; adesso con lo strumento intersezione individua il punto P e nascondi la retta parallela all'asse y);[/*][*]visualizzare il segmento SP che rappresenta la distanza tra tali punti;[/*][*]visualizzare il valore numerico di tale distanza usando il comando di Geogebra;[/*][*]muovi S e osserva come varia la distanza tra S e P[/*][/list]

Per determinare il valore del coefficiente del termine di 3° grado possiamo fare valutazioni di diversa natura:[br][list][*]Una valutazione intuitiva utilizzando Geogebra[/*][*]Una valutazione algebrica utilizzando un foglio di calcolo[/*][/list][br]Usa Geogebra per una valutazione "intuitiva": [br][list=1][*]inserisci la funzione seno [math]y=sinx[/math];[/*][*]inserisci il polinomio [img width=112,height=22]data:image/png;base64,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[/img][br][/*][*]si crea automaticamente uno slider b[/*][/list]Per capire quale potrebbero essere il segno e il valore di [math]b[/math] , fai dei tentativi, variando il valore dello slider . Ricordati che puoi anche "animare" lo slider , regolando la velocità del movimento, per osservare meglio la posizione reciproca tra il polinomio e la funzione.

Ti sei reso conto che non è semplice determinare il valore di b. Per determinare il valore del coefficiente [math]b[/math] del termine di terzo grado seguiremo un ragionamento molto semplice : [br]    [br][list][*]Prendiamo un valore di [math]x[/math] abbastanza vicino allo zero, per esempio [math]x=0,2[/math][/*][*] calcoliamo la funzione seno in [math]x=0,2[/math]: [math]y=sen\left(0,2\right)[/math] [/*][/list][list][*] calcoliamo il valore del Polinomio di 3° grado in [math]x=0,2[/math] : [math]P_3\left(0,2\right)=\left(0,2\right)+b\left(0,2\right)^3[/math][/*][*]ricaviamo [math]b[/math] risolvendo la seguente equazione : [math]P_3\left(0,2\right)=sen\left(0,2\right)[/math][/*][/list]se risolviamo, rispetto ad [math]b[/math] l'equazione [math]\left(0,2\right)+b\left(0,2\right)^3=sen\left(0,2\right)[/math], otterremo [math]b=(sen(0,2)-\left(0,2\right))/(0,2)^3[/math], [math]b=....[/math] [br][br]Se ripeti la stessa procedura per un valor di [math]x[/math] che si avvicina ulteriormente a 0, otterrai un valore di [math]b[/math] sempre più vicino al valore che ti permette di approssimare meglio la funzione seno con un polinomio [math]P_3(x)[/math]. Usa il foglio excel per ricavare [math]b[/math] (con un'approssimazione di cinque cifre decimali) per i seguenti valori :[math]x=0,1[/math] ;[math]x=0,01;x=0,001;x=0,0001;x=0,00001[/math].[br]Ricorda che per inserire una formula in una cella del foglio di calcolo, devi inserire inizialmente il simbolo di uguaglianza e che nella formula devi inserire gli indirizzi delle celle e non il valore che vedi in esse contenuto. In questo modo potrai copiare le formule in altre celle. [br]

Il polinomio che potrebbe ancora migliorare l'approssimazione deve essere di 5° grado. Aggiungiamo perciò al polinomio precedente di grado 3° , un termine di quinto grado. [br]Chiamiamo il nuovo polinomio approssimante : [math]P_5\left(x\right)=x-\frac{1}{6}x^3+cx^5[/math][br][br]Per determinare il valore del coefficiente [math]c[/math] del termine di quinto grado , possiamo fare anche qui valutazioni di diversa natura:[br][list][*]una valutazione intuitiva, usando Geogebra[/*][*] una valutazione algebrica[/*][*]una valutazione di natura geometrica (una valutazione globale), ovvero, scegliendo un intorno di zero non troppo piccolo e minimizzando l'area sottesa tra il polinomio e la funzione coseno, usando Geogebra[/*][/list]

Usa Geogebra: [br][list=1][*]inserisci la funzione coseno [math]y=sen(x)[/math];[/*][*]inserisci il polinomio [math]P_5\left(x\right)=x-\frac{1}{6}x^3+cx^5[/math][br][/*][*]si crea automaticamente uno slider [math]c[/math] [/*][/list]Per capire quale potrebbero essere il segno e il valore di [math]c[/math], fai dei tentativi, variando il valore dello slider . Ricordati che puoi anche "animare" lo slider , regolando la velocità del movimento, per osservare meglio la posizione reciproca tra il polinomio e la funzione. [br]

Ti sarai reso conto che, pur variando il valore dello slider, sembrerebbe non semplice capire l'esatto valore del coefficiente [math]c[/math]. [br]Analizziamo un altro tipo di valutazione:[br]

L'idea è la seguente: determiniamo il valore di [math]c[/math] ( coefficiente del termine di 5°grado del polinomio) seguendo un ragionamento molto semplice : [br]    [br][list][*]Prendiamo un valore di [math]x[/math] abbastanza vicino allo zero, per esempio [math]x=0,2[/math][/*][*] calcoliamo la funzione seno in [math]x=0,2[/math]: [math]y=sen\left(0,2\right)[/math] [/*][/list][list][*] calcoliamo il valore del Polinomio di 5° grado in [math]x=0,2[/math] : [math]P_5\left(0,2\right)=\left(0,2\right)-\frac{1}{6}\left(0,2\right)^3+c\left(0,2\right)^5[/math][/*][*]ricaviamo [math]c[/math] risolvendo la seguente equazione : [math]P_5\left(0,2\right)=sen\left(0,2\right)[/math][/*][/list]se risolviamo, rispetto ad [math]c[/math] l'equazione [math]\left(0,2\right)-\frac{1}{6}\left(0,2\right)^3+c\left(0,2\right)^5=sin\left(0,2\right)[/math], otterremo [math]c=....[/math] [br][br]Se ripeti la stessa procedura per un valore di [math]x[/math] che si avvicina ulteriormente a 0, otterrai un valore di [math]c[/math] sempre più vicino al valore che ti permette di approssimare meglio la funzione seno con un polinomio [math]P_5(x)[/math]. Usa il foglio excel per ricavare [math]c[/math] (con un'approssimazione di almeno cinque cifre decimali) per i seguenti valori :[math]x=0,1[/math] ;[math]x=0,01;x=0,001;x=0,0001;x=0,00001[/math][br]

Passiamo ad un altro tipo di valutazione, basato sull'area sottesa tra le due funzioni in un intervallo fissato. L'idea sulla quale si basa questa valutazione è che "più le due funzioni sono vicine", più l'area "racchiusa" tra le due funzioni è piccola; man mano che le due funzioni si avvicinano l'area diminuisce.[br][br]Per questo tipo di valutazione , utilizziamo Geogebra: [br][list][*]Inserisci le due funzioni: la funzione seno [math]y=senx[/math] e il polinomio [math]P_5(x)=x-\frac{1}{6}x^3+cx^5[/math]. [/*][*]Scegli un intorno di 0, per esempio [math]-1\le x\le1[/math] , [/*][*]usa il comando di Geogebra che si chiama [b]IntegraleTra, [/b] [math]IntegraleTra(f,P_5(x),-1,1)[/math] per visualizzare l'area racchiusa tra le due funzioni nell'intervallo scelto. [/*][/list]