Es gibt Funktionen, deren Funktionsgleichung aus mehreren [br]Funktionsgleichungen zusammengesetzt ist. So ist es zum Beispiel möglich,[br] zwei Funktionsgleichungen mit einander zu multiplizieren:[br][br][b]Ein Beispiel[/b]:[br]Die Funktionsgleichung [math]f(x)=\frac{2\cdot x^2+3\cdot x}{4\cdot x^2+1}[/math] ist ein Quotient der Funktionsgleichungen [math]u(x)=2\cdot x^2+3\cdot x[/math] und [math]v(x)=4\cdot x^2+1[/math]. [br]Man kann daher auch schreiben: [math]f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}[/math][br]

Ist die Funktion [math]f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}[/math] gegeben, dann lautet deren Ableitungsfunktion:[br][math]\text{\Large{$\displaystyle\boxed{f'(x)=\frac{u'(x)\cdot v(x)-u(x)\cdot v'(x)}{(v(x))^2}}$}}[/math]

Gegeben ist die Funktion [math]f(x)=\frac{x^2-3\cdot x}{4\cdot x+5}[/math]. Diese Funktion ist ein Quotient aus der Zählerfunktion [math]u(x)=x^2-3\cdot x[/math] und der Nennerfunktion [math]v(x)=4\cdot x+5[/math], also [math]f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}[/math].[br]Zuerst müssen alle "Bausteine" zusammengesucht werden:[br][list][*][math]u(x)=x^2 - 3\cdot x \Rightarrow u'(x)=2\cdot x - 3[/math][br][/*][*][math]v(x)=4\cdot x + 5\Rightarrow v'(x)=4[/math][br][/*][/list] Nun müssen diese Bausteine zusammengefügt werden:[br][math]\underline{f'(x)=\frac{(2\cdot x - 3)\cdot (4\cdot x + 5)-(x^2 - 3\cdot x )\cdot 4}{ (4\cdot x + 5)^2}}[/math][br][br]Das ist im Grunde schon das richtige Ergebnis. Dieser komplizierte Term ist allerdings noch eine Zumutung, er kann noch deutlich vereinfacht werden. Durch Ausmultiplizieren und zusammenfassen erhält man:[br][math][br]\begin{array}{ll}[br]f'(x)&=\frac{8\cdot x^2 + 10\cdot x - 12\cdot x -15-(4\cdot x^2 - 12\cdot x)}{(4\cdot x + 5)^2}\\[br]\Rightarrow f'(x)&=\underline{\underline{\frac{4\cdot x^2+10\cdot x-15}{16\cdot x^2 + 40\cdot x + 25}}}[br]\end{array}[br][/math]

Im folgenden Applet können Sie sich zwei Funktionen [math]u(x)[/math] und [math]v(x)[/math] ausdenken. Dann wird daraus ein Quotient [math]f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}[/math] gebildet und Sie können davon die Funktion [math]f'(x)[/math] ausrechnen. Sie können das Ergebnis erst einmal ohne Termvereinfachung eintragen, um zu erfahren, ob Sie die Regel richtig angewendet haben. Dann sollten Sie sich aber auch an die Vereinfachung herantrauen ...