Nella [b]Lezione 1 - danza dei numeri complessi: da[/b][math]z[/math][b] a [/b][math]z^n[/math]- abbiamo visto come determinare la potenza di un numero complesso. [br]Abbiamo visto la formula per determinare [b]la potenza di un numero complesso,[/b] scritta nelle 3 forme principali: [br][br][list=1][*][b]forma algebrica: [/b] [math]z=\left(a+ib\right)^n[/math][b] [/b][/*][*][b]forma trigonometrica: [/b] [math]z^n=r^n\cdot\left(cos\alpha+isin\alpha\right)^n[/math][br][/*][*][b]forma esponenziale: [math]z^n=\left(r\cdot e^{i\alpha}\right)^n=r^n\cdot e^{in\alpha}[/math][br][br][/b][/*][/list]Abbiamo imparato a calcolare potenze di numeri complessi scritti nelle varie forme e fatto considerazioni su quale sia la forma più conveniente per il calcolo di una potenza:[br][br][list][*][b]Potenze piccole[/b] → forma algebrica[br][/*][*][b]Potenze grandi[/b] → forma trigonometrica[br][/*][*][b]Massima eleganza[/b] → forma esponenziale[br][/*][/list][br]
Se scriviamo un numero complesso in forma trigonometrica o esponenziale o cartesiana:[br][br][math]z=r\cdot\left(cos\left(\alpha\right)+i\cdot sin\left(\alpha\right)\right)[/math] o [math]z=r\cdot e^{i\alpha}[/math] o [math]z=a+ib[/math][br][br]e lo moltiplichiamo per [math]z[/math] , ovvero calcoliamo [math]z^2[/math], otteniamo:[list][*][b]una rotazione di [math]z[/math][/b] di un angolo [math]\alpha[/math][br][/*][*][b]dilatazione [/b] (o contrazione ) del modulo di [math]z[/math] di un fattore [math]r[/math][br][br][/*][/list]se moltiplichiamo [math]z^2[/math] per [math]z[/math], ovvero calcoliamo [math]z^3[/math], otteniamo :[br][list][*][b]rotazione di [/b] [math]z^2[/math] di un angolo [math]\alpha[/math][br][/*][*][b]dilatazione [/b](o contrazione ) del modulo [math]z[/math] di un fattore [math]r[/math][/*][/list]Ripetere questa operazione per un certo numero di volte , equivale a calcolare potenze successive del numero [math]z[/math]
Cerchiamo di capire cosa succede [b]geometricamente [/b]quando svolgiamo le potenze di un numero complesso. [br]Capire il [b]significato geometrico delle potenze di numeri complessi[/b] significa [b]tradurre operazioni algebriche in movimenti nel piano complesso [/b] (il piano di Piano di Argand).
Partiamo da un punto[math]z=a+ib[/math] e calcoliamo le potenze [math]z^n[/math] di [math]z[/math], per n che varia da 2 a 6. [br]Prendi come "punto di partenza", [math]z=1+i[/math], e visualizzalo sul piano di Argand-Gauss[br][br]Scrivilo anche in forma esponenziale, cosi da poter individuare immediatamente [b]modulo [/b]e [b]argomento[/b] del numero [math]z[/math] ( modulo [math]r[/math] e l'angolo [math]\alpha[/math] ). [br]
1. Calcola : [br][math]z^2[/math] [math]z^3[/math] [math]z^4[/math] [math]z^5[/math] [math]z^6[/math] 2. Scrivi il risultato delle potenze nello spazio risposta o sul quaderno . [br]3. Visualizza sul tuo quaderno z e tutti i risultati ottenuti tracciando i corrispondenti punti nel piano di Argand-Gauss .
Come si dispongono i 5 [b]punti[/b] rappresentanti le [b]potenze[/b] determinate?[br]Rispondi alle domande: [br][br]Relativamente alla [b]Distanza angolare[/b] dei punti rappresentanti le 5 potenze di z: [br]1. A che [b]distanza angolare[/b] una dall'altra si dispongono le 5 potenze? [br]2. Cosa possiamo affermare in relazione alla posizione del punto ad ogni passo? [br][br]Relativamente alla [b]distanza lineare [/b]dei 5 punti dall'origine[br]1. Cosa dire relativamente alla [b]distanza dei 5 punti dall'origine[/b]? [br]2. In che modo aumenta? [br]3. Possiamo affermare che ad ogni passo il modulo del numero complesso viene moltiplicato per un fattore. Quale?[br]4. Di che tipo di crescita si tratta? [br]
Unisci tramite una spezzata i [b]punti in ordine , per n che varia da 1 a 6[/b].[br][br]Che [b]forma [/b]ti sembra emergere?
Una [b]spirale[/b] è una curva che si sviluppa attorno a un [b]punto centrale[/b], avvolgendosi più volte mentre si allontana oppure si avvicina progressivamente a quel punto.[br][br]In modo intuitivo, è una linea continua che:[br][list][*]ruota attorno a un centro,[br][/*][*]nello stesso tempo cambia distanza dal centro,[br][/*][*]senza mai richiudersi su se stessa.[br][/*][/list]La caratteristica fondamentale di una spirale è la combinazione di:[br][list][*][b]movimento circolare[/b] (gira attorno a un punto),[br][/*][*][b]variazione progressiva della distanza[/b] dal centro (si espande o si contrae). [/*][/list][br][b]Ti sembra che i punti che rappresentano le potenze di z che hai tracciato sul piano di Argand-Gauss possano in qualche modo disporsi su una curva come quella descritta nella definizione di spirale? Motiva la tua risposta[/b]
Per comprendere meglio quanto intuito fino ad ora, visualizziamo le potenze del numero z=1+i, su un file di Geogebra. [br]Il grande vantaggio è ovviamente quello di determinare in brevissimo tempo un numero di potenze molto elevato e poter visualizzare meglio il tipo di curva sulla quale si dispongono i punti [math]z^n[/math]
Vogliamo visualizzare le potenze di [math]z[/math] , le [math]z^n[/math], con [math]n[/math] numero intero positivo che varia da 1 a 30 (ovviamente [math]z^1[/math] corrisponde al punto iniziale).[br]Esegui i seguenti comandi:[br][list=1][*]Considera il piano complesso di Argand Gauss, quindi modifica le etichette degli assi cartesiani in Parte reale ([math]Re(z)[/math]) e parte immaginaria ( [math]Im(z)[/math] )[br][/*][*]Inserisci il numero complesso [math]z_1=1+i[/math] [/*][*]Per visualizzare le 30 potenze di[math]z_1[/math] , inserisci il comando [b]Successione , [/b][/*][/list][b] [img]data:image/png;base64,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[/img] [br][/b] che permetterà di visualizzare 30 potenze del punto [math]z_1[/math], al variare di [math]n[/math] intero.[br][br][list]Ti ricordiamo che Il comando [b]Successione[/b] di GeoGebra (in inglese [i]Sequence[/i]) serve per [b]costruire una lista di oggetti, ripetendo una stessa regola al [/b][b]variare di un indice[/b]. [*] Struttura generale[br] Il comando ha questa forma: [/*][math]Successione(espressione,variabile,valore_iniziale,valore_finale)[/math][*][b]Successione [/b] significa: [/*][/list][list][*]prendi una [b]espressione che contenga una variabile[/b] [/*] [*]fai variare la [b]variabile[/b] (di solito un indice come [math]n)[/math] [/*] [*]dai un valore iniziale a uno finale[/*] [*]scegli l'incremento della variabile e raccogli tutti i risultati in una [b]lista[/b][/*] [/list]
Il vantaggio di usare Geogebra è avere 30 potenze di un numero complesso e averle rappresentate sul piano di Argand Gauss in pochissimo tempo.[br][br]Osserva che le potenze [math]z^n[/math] (con [math]n[/math] intero) danno [b]una successione di punti discreti[/b], quindi [b]non sono una curva continua[/b].[br]Questo significa che stanno [b]su una spirale[/b], ma:[br][list][*]non la “riempiono” tutta,[br][/*][*]ne danno solo una versione “a puntini”.[/*][/list]Se però [b]modifichi le impostazioni dello slider [/b][math]n[/math][b] , ovvero modifichi l'incremento di n da 1 a 0.1 all'interno del comando successione,[/b] riuscirai a "vedere" meglio la spirale di cui parliamo.
Un altro modo di visualizzare la spirale delle potenze di [math]z[/math], numero complesso , è utilizzare il comando [b]traccia[br][br][/b]A tal fine inserisci nella prossima applet di geogebra:[br][list=1][*]Considera il piano complesso di Argand Gauss, quindi modifica le etichette degli assi cartesiani in Parte reale ([math]Re(z)[/math]) e parte immaginaria ( [math]Im(z)[/math] )[br][/*][*]Inserisci il numero complesso [math]z_1=1+i[/math] [/*][*]Inserisci[math]z=(z_1)^n[/math], con n intero[/*][*]Fai lasciare la traccia al punto [math]z[/math] al variare dello slider [math]n[/math] , modificando le impostazioni[/*][*]Inizialmente puoi dare ad n un incremento unitario,e poi cambiarlo con 0.1[/*][/list][br][br]
Vogliamo infine vedere come Geogebra permetta di tracciare la [b]spirale continua[/b], sulla quale si distribuiscono le potenze del numero [math]z=1+i[/math][br][br]a tale scopo usiamo il comando [b]Curve, con la seguente sintassi. [br][img]data:image/png;base64,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[/img][br][/b]Come puoi notare tale comando prevede la scrittura del numero complesso [b]in forma trigonometrica[/b] e il parametro che compare nel comando, [math]t[/math][b], è appartenente ai reali[br][br][br][b]Il comando Curva[/b][b] ([/b][i]Curve[/i][b] in GeoGebra) serve per disegnare una curva parametrica[/b][b], cioè una curva descritta facendo variare un parametro.[br][br][/b]Struttura del comando[br][br] Curva(x(t), y(t), t, t_iniziale, t_finale)[br][br] Significa:[br][br][list][*]x(t) → coordinata orizzontale[br][/*][*]y(t) → coordinata verticale[br][/*][*]t → parametro che varia[br][/*][*]t iniziale,t finale→ intervallo di variazione[/*][/list][/b]