Ребро CD тетраэдра ABCD перпендикулярно к плоскости АВС, АВ=ВС=АС=6, BD=3sqrt(7). Найдите двугранные углы DACB, DABC, BDCA.

BDCA:[br]В основании тетраэдра лежит равносторонний треугольник и все его углы равны [math]60^\circ[/math].[br]В данном случае двугранный угол BDCA совпадает с углом ACB и равен [math]60^\circ[/math].[br][br]DACB:[br]Прямая DC принадлежит плоскости ACD и перпендикуоярна плоскости BCA. Поэтому плоскости ACD и BCA перпендикулярны, а значит угол DACB=[math]90^\circ[/math].[br][br]DABC:[br]По теореме Пифагора:[br][math]DC=\sqrt{\left(3\sqrt{7}\right)^2-6^2}=\sqrt{63-36}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}[/math][br][math]CG=\sqrt{6^2-3^2}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}[/math][br][br][math]tan\angle CGD=\frac{DC}{CG}[/math][br][math]tan\angle CGD=1[/math][br][math]\angle DABC=\angle CGD=45^\circ[/math][br][br]Ответ: [math]\angle BDCA=60^{\circ}[/math]; [math]\angle DACB=90^{\circ}[/math]; [math]\angle DABC=45^\circ[/math][br]

[color=#000000]Через сторону AD ромба [/color]ABCD проведена плоскость ADM так, что двугранный угол BADM равен 60 градусов. Найдите сторону ромба, если угол ВАD равен 45 градусов и расстояние от точки В до плоскости АDМ равно 4sqrt(3)

По условию: BM=[math]4\sqrt{3}[/math][br]Угол BEA=90[math]^\circ[/math], так как это перпендикуляр.[br][br][math]sin\angle BEM=\frac{BM}{BE}[/math][br][math]BE=\frac{BM}{sin\angle BEM}[/math][br][math]BE=\frac{4\sqrt{3}}{sin60^{\circ}}=8[/math][br][br][math]sin\angle BAE=\frac{BE}{AB}[/math][br][math]AB=\frac{BE}{sin\angle BAE}[/math][br][math]AB=\frac{8}{sin45^{\circ}}=8\sqrt{2}[/math][br][br]Ответ: сторона ромба=[math]8\sqrt{2}[/math].