[br][b][color=#980000]Prueba del Teorema de la función implícita.[br][/color][/b][br]Sea [math]f(x,y):D\subset \mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}[/math] una función [math]C^{1}[/math] definida en un abierto [math]D[/math]. Sea [math](x_{0},y_{0})[/math] un punto de [math]D[/math] tal que [math]\partial_{y}f(x_{0},y_{0})\neq 0[/math]. Sin pérdida de generalidad asumimos que [math]\partial_{y}f(x_{0},y_{0})>0[/math]. [br][br]Como [math]f(x,y)[/math] es [math]C^{1}[/math] entonces [math]\partial_{y}f(x,y)>0[/math] en un entorno de [math](x_{0},y_{0})[/math]. Por lo tanto puedo escoger [math]\epsilon>0[/math] y [math]\delta>0[/math] suficientemente pequeños tal que [math]\partial_{y}f(x,y)>0[/math] en el rectángulo [math]R=[x_{0}-\delta,x_{0}+\delta]\times [y_{0}-\epsilon,y_{0}+\epsilon][/math]. [br][br]Como [math]\partial_{y}f(x,y)[/math] es continua en el compacto [math]R[/math], entonces tiene mínimo, que debe ser positivo porque [math]\partial_{y}f(x,y)>0[/math] en todo [math]R[/math]. Por lo tanto,[br][br](1)[math][br]\quad \big|\partial_{y}f(x,y)\big|\geq C>0,[br][/math][br][br]para cierta constante [math]C[/math]. Similarmente, como [math]\partial_{x}f(x,y)[/math] es continua en [math]R[/math] tenemos una cota superior,[br][br](2)[math][br]\quad |\partial_{x}f(x,y)|\leq B[br][/math][br][br]para cierta constante [math]B>0[/math]. Vamos a usar (1) y (2) más adelante.[br][br]Como [math]\partial_{y}f(x,y)>[/math] entonces fijado [math]x_{1}\in [x_{0}-\delta,x_{0}+\delta][/math], la función,[br][br][math][br]y\in [y_{0}-\epsilon,y_{0}+\epsilon]\rightarrow f(x_{1},y),[br][/math][br][br]tiene derivada estríctamente positiva, es decir,[br][br][math][br]\frac{df(x_{1},y)}{dy}=\partial_{y}f(x_{1},y)>0,[br][/math][br][br]por lo que es estríctamente creciente.[br][br]En particular, como [math]f(x_{0},y_{0})=0[/math], tenemos [math]f(x_{0},y_{0}+\epsilon)>0, f(x_{0},y_{0}-\epsilon)<0[/math]. Ahora, de la continuidad de [math]f(x,y)[/math], podemos escoger [math]\delta[/math] más pequeño si fuera necesario, de manera que también,[br][br][math][br]f(x,y_{0}+\epsilon)>0,[br][/math][br][br]y,[br][br][math][br]f(x,y_{0}-\epsilon)<0,[br][/math][br][br]para todo [math]x\in [x_{0}-\delta,x_{0}+\delta][/math].[br][br]Nos concentramos ahora en las funciones [math]y\in [y_{0}-\epsilon,y_{0}+\epsilon]\rightarrow f(x_{1},y)[/math] para [math]x_{1}\in [x_{0}-\delta,x_{0}+\delta][/math]. Cada una de ellas es negativa en [math]y_{0}-\epsilon[/math], es estríctamente creciente en [math][y_{0}+\epsilon,y_{0}-\epsilon][/math] y es positiva en [math]y_{0}+\epsilon[/math]. Por lo tanto, cada una de ellas tiene un [i]único[/i] cero en [math](y_{0}-\epsilon,y_{0}+\epsilon)[/math] que llamamos [math]g(x_{1})[/math]. Es decir, tenemos definida una función [br][br][math]x\in [x_{0}-\delta,x_{0}+\delta]\rightarrow g(x)\in [y_{0}-\epsilon,y_{0}+\epsilon][/math] [br][br]cuyo gráfico es el conjunto de nivel. Hemos por lo tanto encontrado la función implícita. Para terminar la prueba del teorema queda demostrar que [math]g(x)[/math] es una función [math]C^{1}[/math].

Vamos a probar ahora que [math]g(x)[/math] es una función [math]C^{1}[/math]. Fijemos [math]x\in (x_{0}-\delta,x_{0}+\delta)[/math]. Sea, [br][br][math][br]k=g(x+h)-g(x)[br][/math][br][br]donde [math]h[/math] es el incremento. Observe que [math]k[/math] depende de [math]h[/math]. Es decir que [math]g(x+h)=g(x)+h[/math]. Tenemos,[br][br][math][br]f(x,g(x))=0,[br][/math][br][br]y,[br][br][math][br]f(x+h,g(x+h))=f(x+h,g(x)+k)=0,[br][/math][br][br]Definimos ahora la siguiente función de [math]t\in [0,1][/math], [math]F(t)=f(x+th,g(x)+tk)[/math]. Tenemos [math]F(0)=f(x,g(x))=0[/math] y [math]F(1)=f(x+h,g(x)+k)=0[/math]. Por lo tanto, por el teorema del valor medio tenemos,[br][br][math][br]0=F'(\theta)=\partial_{x}f(x+\theta h,g(x)+\theta k) h+\partial_{y}f(x+\theta h,g(x)+\theta k) k.[br][/math][br][br]Para cierto [math]\theta\in (0,1)[/math]. Observe que esta construcción depende del incremento [math]h[/math] y por lo tanto [math]\theta[/math] también depende de [math]h[/math], es decir [math]\theta=\theta(h)[/math].[br][br]La fórmula anterior va a ser usada de dos maneras diferentes. [br][br]Escribimos,[br][br](3)[math][br]\quad k=-\frac{\partial_{x}f(x+\theta h,g(x)+\theta k)}{\partial_{y}f(x+\theta h,g(x)+\theta k)} h,[br][/math][br][br]y tomando valor absoluto, llegamos a,[br][br](4)[math][br]\quad |k|\leq \frac{B}{C}|h|,[br][/math][br][br]donde usamos en (3) las ecuaciones (1) y (2). Una consecuencia de esto es que [math]k\rightarrow 0[/math] cuando [math]h\rightarrow 0[/math]. Ahora, recordando que [math]k=g(x+h)-g(x)[/math], reemplazando esta expresión en (3) y dividiendo por [math]h[/math], deducimos,[br][br][math][br]\frac{g(x+h)-g(x)}{h}=-\frac{\partial_{x} f(x+\theta h,g(x)+\theta k)}{\partial_{y}f(x+\theta h,g(x)+\theta k)}.[br][/math][br][br]Si tomamos el límite cuando [math]h\rightarrow 0[/math] recordando que [math]\theta\in (0,1)[/math] deducimos,[br][br][math][br]g'(x)=-\frac{\partial_{x}f(x,g(x))}{\partial_{y}f(x,g(x))}.[br][/math][br][br]En particular probamos que [math]g'(x)[/math] existe y por lo tanto [math]g(x)[/math] es continua (para que la derivada exista la función debe ser continua). Finalmente, como [math]\partial_{x}f(x,y)[/math] y [math]\partial_{y}f(x,y)[/math] son continuas, las composiciónes [math]\partial_{x}f(x,g(x))[/math] y [math]\partial_{y}f(x,g(x))[/math] son continuas también. De aquí que [math]g'(x)[/math] es continua, lo que culmina la demostración del teorema. [math]\Box[/math]. [br][br][size=150][b][u][color=#1e84cc]El Teorema de la función implícita para funciones de más de dos variables.[br][/color][/u][/b][/size][br]El teorema de la función implícita se generaliza para funciones de más de dos variables [math]f(x_{1},\ldots,x_{n})[/math], de forma directa. La diferencia radica en que la función implícita, cuyo gráfico representa el conjunto de nivel localmente, es una función de [math]n-1[/math]-variables. Si [math]n=3[/math], entonces el conjunto de nivel localmente el gráfico de una función de dos variables y por lo tanto una superficie. Para más de tres variables, dichos gráficos se denominan hipersuperficies.[br][br][color=#980000][b]Teorema de la función implícita (para funciones de varias variables).[/b] [/color]Sea [math]f:D\subset \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}[/math] una función de [math]n[/math]-variables, [math]C^{1}[/math] y definida en un abierto [math]D[/math]. Sea [math]a=(a_{1},\ldots,a_{n})[/math] un punto del conjunto del nivel [math]f(x_{1},\ldots,x_{n})=N[/math] para cierto nivel [math]N[/math]. Si,[br][br][math][br]\partial_{x_{n}}f(a)\neq 0,[br][/math][br][br]entonces existen [math]\epsilon>0[/math] y [math]\delta>0[/math] y una función [math]C^{1}[/math],[br][br][math]g: [a_{1}-\delta,a_{1}+\delta]\times [a_{2}-\delta,a_{2}+\delta]\times \ldots[a_{n-1}-\delta,a_{n-1}+\delta]\rightarrow [a_{n}-\epsilon,a_{n}+\epsilon][/math] tal que,[br][br][math][br]f(x_{1},\ldots,x_{n})=N\ {\rm con}\ (x_{1},\ldots,x_{n})\in [a_{1}-\delta,a_{1}+\delta]\times [a_{2}-\delta,a_{2}+\delta]\times\ldots\times [a_{n}-\epsilon,a_{n}+\epsilon]\quad {\rm sí\ y\ solo\ sí}\quad x_{n}=g(x_{1},\ldots,x_{n-1}).[br][/math][br][br]Además, la derivadas parciales se calculan del siguiente modo,[br][br][math][br]\frac{\partial g(x_{1},\ldots,x_{n-1})}{\partial x_{i}}=-\frac{\partial_{x_{i}}f(x_{1},\ldots,x_{n-1},g(x_{1},\ldots,x_{n-1}))}{\partial_{x_{n}} f(x_{1},\ldots,x_{n-1},g(x_{1},\ldots,x_{n-1}))}[br][/math][br][br][math]\Box[/math][br][br]