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In [color=#3d85c6]M3.III.6 AB CO2-Emissionsziel[/color] haben Sie bereits erarbeitet, dass das Ergebnis der Skalarprodukte [math]\vec{a} \cdot \vec{b_1}[/math], [math]\vec{a} \cdot \vec{b_2}[/math], ... für unterschiedliche Vektoren [math]\vec{b_1}[/math], [math]\vec{b_2}[/math], ... gleich ist, wenn für die Pfeile der Vektoren gilt: [br]liegt deren Anfangspunkt im Anfangspunkt des Pfeils von Vektor [math]\vec{a}[/math], [br]dann liegen ihre Endpunkte auf einer Geraden senkrecht zum Pfeil von [math]\vec{a}[/math].
Wenn die Skalarprodukte [math]\vec{a} \cdot \vec{b}[/math] und [math]\vec{a} \cdot \vec{b_a}[/math] das gleiche Ergebnis liefern, kann man also den Vektor [math]\vec{b_a}[/math] zur Berechnung des Skalarprodukts [math]\vec{a} \cdot \vec{b}[/math] auswählen, der parallel zu [math]\vec{a}[/math] liegt. Dieser Vektor [math]\vec{b_a}[/math] wird als [b]Projektion[/b] von [math]\vec{b}[/math] auf [math]\vec{a}[/math] bezeichnet.[br][br]Dann vereinfacht sich die Berechnung des Skalarprodukts zu: [math]\vec{a} \cdot \vec{b}=|\vec{a}| \cdot |\vec{b_a}|[/math].[br][br]Überprüfen Sie diesen Zusammenhang im folgenden Applet und stellen Sie eine Formel zur Berechnung des Winkels [math]\alpha[/math] (bzw. von [math]cos\ \alpha[/math]) auf. [br]Tipp: Nutzen Sie die trigonometrischen Formeln im entstehenden rechtwinkligen Dreieck.
Im entstehenden Dreieck kann man mithilfe des Kosinus einen Zusammenhang aufstellen:[br][math]\cos \alpha = \frac{Ankathete}{Hypotenuse} = \frac{|\vec{b_a}|}{|\vec{b}|} [/math][br]Die Formel in der Aufgabenstellung [math]\vec{a} \cdot \vec{b}=|\vec{a}| \cdot |\vec{b_a}|[/math] kann man nach [math]|\vec{b_a}|[/math] umstellen: [math]|\vec{b_a}| =\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}|}[/math][br]und das in die obige Formel für [math]cos\ \alpha[/math] einsetzen: [br][math]cos\ \alpha=\frac{|\vec{b_a}|}{|\vec{b}|} =\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}[/math]
[b][size=150][color=#E31B4C]||[/color][color=#095EBC] Benutzerhinweise zum obigen Applet[/color][/size][/b][br][b][size=150][color=#E31B4C]|| [/color][/size][/b]Bewege die Punkte, um die Pfeile und die zugehörigen Vektoren zu ändern.[br][b][size=150][color=#E31B4C]|| [/color][/size][/b]Vergleiche die unterschiedlichen Berechnungen für unterschiedliche Vektoren.[br][b][size=150][color=#E31B4C]|| [/color][/size][/b] Wenn man oben rechts im Applet auf [img]https://juergen-roth.de/images/icons/jr/Schaltflaeche_neu_laden.png[/img] klickt, wird das Applet auf seinen Ausgangszustand zurückgesetzt. [br][b][size=150][color=#E31B4C]||[/color][/size][/b] Wenn man unten rechts im Applet auf [img]https://juergen-roth.de/images/icons/jr/ggb_vollbild_icon.png[/img] klickt, wird das Applet im Vollbild dargestellt.[br] [br]
Übertragen Sie nun die Berechnung aus Aufgabe 1 auf die Farbvektoren. [br]Der Einfachheit halber betrachten wir nur ein zweidimensionales Farbschema mit rb-Farbvektoren.[br][br]Sie haben bereits im 3D rgb-Farbmodell für Grautöne erarbeitet, dass alle Komponenten eines Grauvektors identisch sind.[br]Sie können im 2D rb-Farbmodell also jeden beliebigen Grauton als Vielfaches von [math]\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}[/math] erzeugen. [br]Alle Pfeile der Grautöne liegen parallel zur Geraden durch [math]\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}[/math] und [math]\begin{pmatrix} 255 \\ 255 \end{pmatrix}[/math].[br]Die Pfeile der Grundfarben, vom Ursprung ausgehend eingezeichnet, liegen am weitesten von dieser Grau-Geraden entfernt an den Achsen.[br][br]Eine Möglichkeit die [b]Farbigkeit eines Farbvektors[/b] zu bestimmen, besteht deshalb darin, die "Abweichung" eines Farbpfeils von der Grau-Geraden über den Winkel zwischen beiden zu bestimmen.[br]
Im nachfolgenden Applet ist die Grau-Gerade eingezeichnet, der Pfeil eines Grauvektors und der Pfeil eines Farbvektors [math]\vec{v}[/math] sind vom Ursprung ausgehend eingezeichnet und der Winkel [math]\alpha[/math] zwischen beiden Pfeilen ist eingetragen.[br]Nutzen Sie Ihre Ergebnisse aus Aufgabe 1, um für den Farbvektor [math]\vec{v}[/math] den Farbigkeitswert [math]\alpha[/math] zu bestimmen.
[math]\vec{a}[/math] aus Aufgabe 1 ist hier [math]\overrightarrow{grau}[/math].[br][math]\vec{b}[/math] aus Aufgabe 1 ist hier [math]\vec{v}[/math].[br]Die Projektion von [math]\vec{v}[/math] auf [math]\overrightarrow{grau}[/math] ist im Applet mit [math]\overrightarrow{v_{grau}}[/math] bezeichnet.[br]Damit ergibt sich für [math]cos\alpha[/math] hier:[br][math]cos \alpha=\frac{|\overrightarrow{v_{grau}}|}{|\overrightarrow{grau}|} =\frac{\overrightarrow{grau} \cdot \vec{v}}{|\overrightarrow{grau}| \cdot |\vec{v}|}[/math][br]und damit für [math]\alpha[/math] [br][math]\alpha=cos^{-1}\frac{\overrightarrow{grau} \cdot \vec{v}}{|\overrightarrow{grau}| \cdot |\vec{v}|}[/math]
[b][size=150][color=#E31B4C]||[/color][color=#095EBC] Benutzerhinweise zum obigen Applet[/color][/size][/b][br][b][size=150][color=#E31B4C]|| [/color][/size][/b]Bewegen Sie den Punkt, um den Pfeil und den zugehörigen Farbvektor zu ändern.[br][b][size=150][color=#E31B4C]|| [/color][/size][/b]Mit dem Befehl Winkel(…) wird dieser zwischen den beiden in Klammern angegebenen Vektoren bestimmt.[br][b][size=150][color=#E31B4C]|| [/color][/size][/b] Wenn man oben rechts im Applet auf [img]https://juergen-roth.de/images/icons/jr/Schaltflaeche_neu_laden.png[/img] klickt, wird das Applet auf seinen Ausgangszustand zurückgesetzt. [br][b][size=150][color=#E31B4C]||[/color][/size][/b] Wenn man unten rechts im Applet auf [img]https://juergen-roth.de/images/icons/jr/ggb_vollbild_icon.png[/img] klickt, wird das Applet im Vollbild dargestellt.[br][br]
Für einen Farbvektor [math]\vec{v}[/math] stellt also [math]\alpha[/math] ein Wert für dessen Farbigkeit dar.[br]Dieser berechnet sich mit dem Skalarprodukt des Farbvektors [math]\vec{v}[/math] mit einem Grauvektor (z.B. [math]\overrightarrow{grau}=\begin{pmatrix} 100 \\ 100 \end{pmatrix}[/math]) geteilt durch das Produkt der Beträge beider Vektoren.[br][br]Prüfen Sie durch Berechnung mit den beiden Grauvektoren [math]\overrightarrow{grau}= \begin{pmatrix} 100 \\ 100 \end{pmatrix}[/math] und [math]\overrightarrow{hellgrau}=\begin{pmatrix} 200 \\ 200 \end{pmatrix}[/math], ob der Farbigkeitswert des Farbvektors [math]\vec{v}= \begin{pmatrix} 50 \\ 150 \end{pmatrix}[/math] vom Grauvektor abhängt. [br][br][size=85]Anmerkung: Die Unabhängigkeit ist genaugenommen erst dadurch überprüft, wenn allgemein, z.B. durch algebraische Umformung, gezeigt wird, dass in der o.a. Formel für die Farbigkeit der Wert der identischen Komponenten des Grauvektors nicht mehr vorkommt.[/size]
[math]\alpha=cos^{-1}\frac{\overrightarrow{grau} \cdot \vec{v}}{|\overrightarrow{grau}| \cdot |\vec{v}|}[/math]
Im nachfolgenden Applet lassen sich die Graugerade und der Winkel mit dem Pfeil (vom Ursprung aus eingezeichnet) des Farbvektors einblenden.[br][br]Übertragen Sie das oben erarbeitete Konzept der Farbigkeit auf dem 3D rgb-Farbwürfel und notieren Sie Ihre Beobachtungen.
[b][size=150][color=#E31B4C]||[/color][color=#095EBC] Benutzerhinweise zum obigen Applet[/color][/size][/b][br][b][size=150][color=#E31B4C]|| [/color][/size][/b]Ein Häkchen bei [b]Grau-Gerade und Winkel einzeichnen[/b] ergänzt den Farbwürfel um diese.[br][b][size=150][color=#E31B4C]||[/color][/size][/b] Mit den drei Schiebereglern [color=#ff0000]k[/color], [color=#00ff00]l[/color], [color=#0000ff]m[/color] lassen sich die Gewichte der Farben [color=#ff0000]rot[/color], [color=#00ff00]grün[/color] und [color=#0000ff]blau[/color] einstellen.[br][b][size=150][color=#E31B4C]|| [/color][/size][/b]Wenn man oben rechts im Applet auf [img]https://juergen-roth.de/images/icons/jr/Schaltflaeche_neu_laden.png[/img] klickt, wird das Applet auf seinen Ausgangszustand zurückgesetzt. [br][b][size=150][color=#E31B4C]||[/color][/size][/b] Wenn man unten rechts im Applet auf [img]https://juergen-roth.de/images/icons/jr/ggb_vollbild_icon.png[/img] klickt, wird das Applet im Vollbild dargestellt.[br][br]
[i][u]Quellen:[/u] [br]Susanne Digel.[br][u][br]weiterführendes Material:[/u][br]Das Applet [url=https://www.geogebra.org/m/fpw3jfsz][color=#095EBC]Skalarprodukt Winkel geometrisch[/color][/url] (adaptiert von [url=https://www.geogebra.org/u/thglaser][color=#095EBC]Thorsten Glaser[/color][/url]) wiederholt und vertieft die Winkelvorstellung des Skalarprodukts. Es nutzt eine geometrische Darstellung zur Herleitung. SuS können diese nachvollziehen und an obiges Vorgehen anbinden, um diese zu wiederholen und vertiefen.[/i]