[b][size=100][size=150][b][size=100][size=150][b][size=100][size=150][color=#999999]このページは電子ブック「[i][url=https://www.geogebra.org/m/vffm84sw]探求　数学[/url]Ⅰ」の一部です[/i]。[/color][br][/size][/size][/b][/size][/size][/b][br]＜三角形の面積と正弦定義＞[br][/size][/size][/b]・頂点Aから辺aにおろした高さをｈとする。[br]　[b][color=#0000ff][size=150]正弦定義[/size][/color][/b]から[math]sinB=\frac{h}{c}[/math][math],sinC=\frac{h}{b}[/math]だから、[b][color=#0000ff]h=c・sinB＝b・sinCとかける[/color][/b]。[br]　三角形ABCの面積はa×h÷2=[math]\frac{1}{2}a\cdot bsinC=\frac{1}{2}a\cdot csinB[/math][br]　同様にして、辺ｂに垂線をおろして、[br]三角形ABCの面積はb×高さ÷２＝[math]\frac{1}{2}b\cdot csinA=\frac{1}{2}b\cdot asinC[/math][br] サイクリックに整理すると、[math]\frac{1}{2}absinC=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{1}{2}casinB[/math][br] [color=#0000ff]三角形の面積＝[/color][math]\frac{1}{2}[/math][color=#0000ff]２辺の積×間の角の正弦[/color]。[br]　（例）２辺が３，４で間の角が150°の三角形の面積は？[br]　　sin150°=sin30°=1/2だから、1/2・3・４・1/2＝３。[br][size=150][b]＜平行四辺形の面積＞[/b][/size][br] [color=#0000ff]平行四辺形の面積＝[/color][color=#0000ff]２辺の積×間の角の正弦[/color]。[br]（例）対角線が10,12で60°で交わる平行四辺形の面積は？[br]　対角線で区切られる４つの三角形のうちの１つは60°を10÷2＝５，12÷2＝6が挟む。[br]sin60°＝[math]\frac{\sqrt{3}}{2}[/math]. [math]\frac{1}{2}\cdot5\cdot6\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot4=30\sqrt{3}[/math][br][b][size=150]＜多角形の面積＞[/size][/b][br]　多角形は三角形に分割して面積を求める、という方針を立てることもできる。[br][b][size=150]＜（参考）余弦定理からヘロンの公式を作ろう＞[br][/size][/b]　三角形の面積は上記のようにS=1/2bc・sinAで求められる。[br]　一方で、[color=#0000ff][b][size=150]cosA＝xとすると、sinA=√(1-x[sup]2[/sup])=√(1+x)(1-x)と表すこと[/size][/b][/color]ができるね。[br]　ここでx=cosA=(b[sup]2[/sup]+c[sup]2[/sup]-a[sup]2[/sup])/(2bc)を上の式に代入してみよう。[br] ・sinA=[math]\sqrt{\left(1+\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right)\left(1-\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right)}=\frac{1}{2bc}\sqrt{\left(\left(b+c\right)^2-a^2\right)\left(a^2-\left(b-c\right)^2\right)}[/math][br]=[math]\frac{1}{2bc}\sqrt{\left(b+c+a\right)\left(b+c-a\right)\left(a+b-c\right)\left(a-b+c\right)}[/math][br]だから、S=[math]\frac{1}{2}bc\cdot sinA[/math]=[br][math]\frac{1}{2}bc\frac{1}{2bc}\sqrt{\left(b+c+a\right)\left(b+c-a\right)\left(a+b-c\right)\left(a-b+c\right)}=\frac{\sqrt{\left(b+c+a\right)\left(b+c-a\right)\left(a+b-c\right)\left(a-b+c\right)}}{4}[/math][br]=[math]\sqrt{\frac{\left(b+c+a\right)\left(b+c-a\right)\left(a-b+c\right)\left(a+b-c\right)}{16}}=\sqrt{\frac{a+b+c}{2}\frac{a+b+c-2a}{2}\frac{1+b+c-2b}{2}\frac{a+b+c-2c}{2}}[/math][br]=[math]\sqrt{s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}\left(\frac{a+b+c}{2}=s\right)[/math][br]

[b][size=150]＜内心＞[br][/size][/b]三角形ABCの２つの頂点の角の２等分線の交点Iを、[color=#0000ff][内心（incenter)][/color]という。[br]Iから３辺におろした垂線の足を、辺a,b,cの順に、D,E,Fとする。[br]ID=IE=IFになる。これをrとする。[br]中心I、半径ｒの円が三角形ABCの[color=#0000ff][内接円（incircle)][/color]になる。[br]円外から接点までの長さは等しいので、AF=AE=x,BF=BD=y,CD=CE=ｚとおける。[br][size=150][b]＜内接円の半径＞[br][/b][/size]３辺a,b,cを底辺として、高さをrとする三角形の面積の合計は、三角形全体の面積Sと等しい。[br]だから、r(a+b+c)/2=S。だから、[math]r=\frac{2S}{a+b+c}[/math][br][br][size=150][b]＜角の２等分線定理＞[/b][/size][br]三角形ABCの頂点Aを２等分する線と対辺aとの交点をDとする。[br]点Dから残りの辺b,cへおろした垂線の長さｈは等しい。[br]・２辺b,cを底辺として、高さをhとする三角形ABDと三角形ACDの面積比は、[br]bh/2:ch/2=[color=#0000ff]b:c=DC:DBだから、角の２等分線は２等分した角をはさむ辺の比に残りの辺を分ける。[br][/color]・三角形ABDと三角形ADCの面積の和は三角形全体の面積Sと等しい。[br]　[color=#0000ff][b]角A＝2ｋ[/b][/color]とする。面積の2倍についての式ができる。[br][color=#0000ff][b]cd・sink+bd・sink=bc・sin2k[/b][/color]だから、[math]d=\frac{bcsin2k}{\left(b+c\right)sink}=\frac{bc}{b+c}\cdot\frac{sin2k}{sink}[/math]となる。

[color=#0000ff]（例）[/color][br]「c=2,b=3,角A＝120°のときの角Aの二等分線ADの長さ」は？[br] [math]\frac{sin120^\circ}{sin60^\circ}=1[/math]、[math]\frac{bc}{b+c}=\frac{3\cdot2}{3+2}=\frac{6}{5}[/math]となる。その積は[math]1\cdot\frac{6}{5}=1.2[/math][br][color=#0000ff]（例）[/color][br]「c=6,b=8,角A＝60°のときの角Aの二等分線ADの長さ」は？[br] [math]\frac{sin60^{\circ}}{sin30^{\circ}}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}=\sqrt{3}[/math]、[math]\frac{bc}{b+c}=\frac{6\cdot8}{6+8}=\frac{48}{14}[/math]となる。その積は[math]\sqrt{3}\cdot\frac{48}{14}=\frac{24}{7}\sqrt{3}[/math][br][color=#0000ff]（例）[/color][br]「c=2,b=3,a=4の三角形ABCの内心をIとするときAIの長さ」は？[br]　角Aの２等分線をADとすると、角Aをはさむ辺の比でaを比例配分して、BD=4×2/(2+3)=8/5。[br]　三角形ABCの３辺から余弦定理でcosB=(c[sup]2[/sup]+a[sup]2[/sup]-b[sup]2[/sup])/(2ca)=(4+16-9)/(2･2･4)=11/16。[br]　三角形ABDで余弦定理でAD[sup]2[/sup]=AB[sup]2[/sup]+BD[sup]2[/sup]-2AB･BD･cosB=4+(8/5)[sup]2[/sup]-2･2･(8/5)･(11/16)=54/25。AD=3√6/5[br] 角Bの２等分線がBIは、ADをAB:BD=2:8/5=5:4に比例配分して3√6/5×5/(5+4)=√6/3。[br]（別解　数学Ⅱ）[br]　cosA=(b2+c2-a2)/(2bc)=(9+4-16)/(2･3･2)=-1/4。sinA=√(1-1/16)=√15/4[br] 半角の公式からsinA/2=√((1-cosA)/2)=√(5/8)=√10/4 。[br]　AD=sinA/sin(A/2) ･bc/(b+c)= (√15/4)/(√10/4)･3･2/(3+2)=3√6/5　角Bの２等分線がBIは、ADを　　[br]　AB:BD=2:8/5=5:4に比例配分して3√6/5×5/(5+4)=√6/3。