[size=100][b][color=#ff7700]Definiciones (solamente las planares):[/color][/b][br][br]Def 1. Un punto es lo que no tiene partes.[br][br]Def 2. Una línea es una longitud sin anchura.[br][br]Def 3. Los extremos de una línea son puntos.[br][br]Def 4. Una línea recta es aquella que yace por igual respecto de los puntos que están en ella.[br][br]Def 5. Cuando las líneas que comprenden el ángulo son rectas, el ángulo se llama rectilíneo.[br][br]Def 6. Cuando una recta levantada sobre otra recta forma ángulos adyacentes iguales entre sí, cada uno de los [br]ángulos iguales es recto y la levantada se llama perpendicular a aquella sobre la que está.[br][br]Def 7. Ángulo obtuso es el mayor que un recto.[br][br]Def 8. Ángulo agudo es el menor que un recto.[br][br]Def 9. Un límite es aquello que es extremo de algo.[br][br]Def 10. Una figura es lo contenido por uno o varios límites.[br][br]Def 11. Un círculo es una figura plana comprendida por una sola línea de tal modo que todas las rectas dibujadas que caen sobre ella desde un punto de los que están dentro de la figura son iguales entre sí.[br][br]Def 12. El punto se llama el «centro» del círculo.[br][br]Def 13. Un diámetro del círculo es una recta cualquiera trazada a través del centro y limitado en ambos sentidos por la circunferencia del círculo, recta que también divide el círculo en dos partes iguales.[br][br]Def 14. Un semicírculo es la figura comprendida entre el diámetro y la circunferencia por él cortada. Y el centro del semicírculo es el mismo que el del círculo.[br][br]Def 15. Figuras rectilíneas son las comprendidas por rectas, triláteras las comprendidas por 3, cuadriláteras las comprendidas por 4, polígonos las comprendidas por más de 4 rectas.[br][br]Def 16. Entre las figuras triláteras, el triángulo equilátero es la que tiene los tres lados iguales, triángulo isósceles  la que tiene dos lados iguales, y el triángulo escaleno la que tiene los tres lados desiguales.[br][br]Def 17. Entre las figuras triláteras, triángulo rectángulo es la que tiene un ángulo recto, obtusángulo la que tiene un ángulo obtuso, acutángulo la que tiene los tres ángulos agudos.[br][br]Def 18. De entre las figuras cuadriláteras, cuadrado es la que es equilátera y rectangular, rectángulo la que es rectangular pero no equilátera, rombo la que es equilátera pero no rectangular, romboide la que tiene los ángulos y los lados opuestos iguales entre sí, pero no es equilátera ni rectangular; y trapecios las demás figuras cuadriláteras.[br][br]Def 19. Son rectas paralelas las que estando en el mismo plano y siendo prolongado indefinidamente en ambos sentidos, no se encuentran una a otra en ninguno de ellos.[br][b][color=#ff7700][br]Nociones comunes​ (vale):[br][/color][/b][br][color=#1e84cc]Noc 1.[/color] Cosas iguales a una misma cosa son iguales entre sí.[br][br][color=#1e84cc]Noc 2.[/color] Si a cosas iguales se les añade la misma cosa, los totales son iguales.[br][br][color=#1e84cc]Noc 3.[/color] Si a cosas iguales se les sustrae la misma cosa, los restos son iguales.[br][br][color=#1e84cc]Noc 4.[/color] Cosas que coinciden entre sí son iguales entre sí.[br][br][color=#1e84cc]Noc 5.[/color] El todo siempre es mayor que la parte.[br][b][color=#ff7700][br]Postulados (se postula):[br][/color][/b][br][color=#1e84cc]Post 1.[/color] Poder dibujar un segmento de recta entre dos puntos cualesquiera.[br][br][color=#1e84cc]Post 2.[/color] Poder extender indefinidamente un segmento de recta en una línea recta.[br][br][color=#1e84cc]Post 3.[/color] Poder dibujar un círculo con un radio y un centro dados.[br][br][color=#1e84cc]Post 4.[/color] Que todos los ángulos rectos son iguales entre sí.[br][br][color=#1e84cc]Post 5.[/color] Que si una línea recta corta a otras dos, de tal manera que la suma de los dos ángulos interiores del mismo lado sea menor que dos rectos, las otras dos rectas se cortan, al prolongarlas, por el lado en el que están los ángulos menores que dos rectos.[br][/size]

[color=#ff7700][b]Proposición 1[/b].[/color] [b][i]Construir un triángulo equilátero sobre un segmento.[/i][/b][br][br][color=#ff7700][b]Prueba comentada[/b].[/color] Sea AB el segmento del enunciado. Sea c(A) el círculo dibujado con centro A y radio AB, y sea c(B) el círculo dibujado con centro B y radio BA, [Post 3]. Sean C y D los dos puntos de la intersección de c(A) y c(B), [sup](1)[/sup]. Entonces el radio AC es igual al radio AB, y el radio BC es igual al radio BA, en ambos casos por ser radios un mismo círculo [Def 11]. Como AB es igual a BA, [sup](2)[/sup],[sup] [/sup]entonces AC es igual a BC [Noc 1]. [math]\square[/math] [br][br][sup](1)[/sup] Que dos tales circunferencias deban intersectarse no se desprende de los postulados.[br][br][sup](2) [/sup]La noción de "igual" parece referirse a una congruencia entre segmentos: (i) AB es congruente con BA ([Noc 4] si entendemos al segmento AB como el conjunto de sus puntos), (ii) si AB es congruente con BC y BC es congruente con DE, entonces AB es congruente con DE, ([Noc 1] si entendemos por "cosa" a un segmento).[br][br][b][color=#ff7700]Proposición 2. [/color][i]Colocar[/i][/b][i][b] un segmento igual a otro dado, con extremo en un punto dado.[/b][br][br][/i][color=#ff7700][b]Prueba comentada.[/b] [/color] Sea BC el segmento dado y A el punto dado. Si A coincide con B o C entonces BC sería el segmento que se busca. Supongamos A no coincide con B o C. Asumamos que A no coincide con B. Sea c(B) la circunferencia de centro B y radio BC. Sea ADB el triángulo equilátero construido siguiendo la Proposición 1. Sea DE la extensión de DA, y DF la extensión de DB siguiendo el Postulado 2, [sup](1)[/sup]. Sea c(B) el círculo de centro B y radio BC que corta a DF en el punto G. [math]\square[/math][br][br][sup](1)[/sup] Hay cierta vaguedad sobre el concepto de "recta", que podría indicar un segmento, un rayo o una recta inextensible. Parece ser evidente que Euclides se refiere implícitamente a DE y DF como rayos y no rectas inextensibles. El Postulado 2 debe entenderse como que habilita la extensión de un segmento en rayos y también en rectas, e involucrar indirectamente el concepto de dirección.