Definição: Uma transformação afim M(x,y) = A(x,y) + [math]\left(\alpha,\beta\right)[/math] é uma composição de uma transformação linear L(x,y) = A.(x,y) e uma translação T(x,y) = (x,y) + [math]\left(\alpha,\beta\right)[/math] . Onde a matriz A é uma matriz 2x2 regular [br][br] A= [math]\text{\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}}[/math][br][br]as equações da transformação afim M são [math]u=ax+by+\alpha,\quad v=cx+dy+\beta,[/math] com [math]ad-cb\ne0[/math]. [br][br]O jacobiano da transformação afim M é [br][br] JM= [math]\text{\begin{vmatrix} \frac{\partial u}{\partial x} & \frac{\partial v}{\partial y }\\ \frac{\partial v}{\partial x} & \frac{\partial u}{\partial y} \end{vmatrix }[/math] = [math]det(A)[/math] = [math]ad-cb[/math][br][br]As transformações lineares canônicas são: [br][br][br]---> Explicar o que é uma transformação linear geral<----------[br]

Apresentamos abaixo uma lista de applets com cada tipo de transformação, aberta para o aluno manipular e observar cada tipo de transformação..

Equações da transformação: [br] Temos que [math]u=ax[/math] e[math]v=by[/math][br][math]R_{xy}=\left\{\left(x,y\right)\in\mathbb{R}^2\mid-1\le x\le1,\quad-3\le y\le3\right\}[/math][br][math]R_{u,v}=\left\{\left(u,v\right)\in\mathbb{R}^2\mid-a\le u\le a,\quad-3b\le v\le3b\right\}[/math][br][br]Seu jacobiano vale [math]ab[/math].

Equações da transformação: [br] Temos que [math]u=-x[/math] e[math]v=y[/math][br][math]R_{xy}=\left\{\left(x,y\right)\in\mathbb{R}^2\mid0\le x\le3,\quad0\le y\le3\right\}[/math][br][math]R_{uv}=\left\{\left(u,v\right)\in\mathbb{R}^2\mid-3\le u\le0,\quad-3\le v\le0\right\}[/math][br][br]Seu jacobiano vale [math]-1[/math]

Equações da transformação: [br] Temos que [math]u=ax[/math] e[math]v=ay[/math][br][math]R_{xy}=\left\{\left(x,y\right)\in\mathbb{R}^2\mid-1\le x\le1,\quad-3\le y\le3\right\}[/math][br][math]R_{u,v}=\left\{\left(u,v\right)\in\mathbb{R}^2\mid-a\le x\le a,\quad-3a\le v\le3a\right\}[/math][br][br]Seu jacobiano vale [math]a^2[/math]

Equações da transformação: [br] Temos que [math]u=ax+y[/math] e[math]v=ay[/math][br][math]R_{xy}=\left\{\left(x,y\right)\in\mathbb{R}^2\mid-1\le x\le1,\quad-3\le y\le3\right\}[/math][br][math]R_{u,v}=\left\{\left(u,v\right)\in\mathbb{R}^2\mid-ax-y\le u\le ax+y,\quad-3a\le v\le3a\right\}[/math][br][br]Seu jacobiano vale [math]a^2[/math]

Equações da transformação: [br] Temos que [math]u=xcos\left(\theta\right)-ysen\left(\theta\right)[/math] e [math]v=xsen\left(\theta\right)+ycos\left(\theta\right)[/math][br][math]R_{xy}=\left\{\left(x,y\right)\in\mathbb{R}^2\mid-1\le x\le1,\quad-3\le y\le3\right\}[/math][br][math]R_{u,v}=\left\{\left(u,v\right)\in\mathbb{R}^2\mid-\left|xcos\left(\theta\right)-ysen\left(\theta\right)\right|\le u\le\left|xcos\left(\theta\right)-ysen\left(\theta\right)\right|,\quad-\left|xsen\left(\theta\right)+ycos\left(\theta\right)\right|\le v\le\left|xsen\left(\theta\right)+ycos\left(\theta\right)\right|\right\}[/math][br][br]Seu jacobiano vale [math]1[/math]

Equações da transformação: [br] Temos que [math]u=x+2[/math] e [math]v=y+1[/math][br][math]R_{xy}=\left\{\left(x,y\right)\in\mathbb{R}^2\mid-1\le x\le1,\quad-3\le y\le3\right\}[/math][br][math]R_{u,v}=\left\{\left(u,v\right)\in\mathbb{R}^2\mid-\left(x+2\right)\le u\le x+2,\quad-\left(y+1\right)\le v\le y+1\right\}[/math]