Wenn man die Gleichung für die Vertrauensintervalle nach [math]h_n[/math] auflöst, dann erhält man die Gleichung:[br][br][math]h_n(p)=p\pm c\cdot \sqrt{\frac{p\cdot(1-p)}n}[/math][br][br]Im Grunde ist das die relative Häufigkeit [math]h_n[/math] in Abhängigkeit von der Wahrscheinlichkeit [math]p[/math]. Wenn man die Gleichung sowohl für das Plus- als auch für das Minuszeichen als Funktionsgraph darstellt, dann erhält man eine schräg stehende Ellipse. Diese ist unten in der Geogebra-App abgebildet. Wenn man nun auf der Ordinate eine relative Häufigkeit einstellt und einen waagerechten Strich zieht, dann wird die Ellipse an zwei Stellen geschnitten. Diese beiden Stellen markieren dann die beiden Ränder unseres Vertrauensintervalls.

Wenn man auf der Abszisse ein festes [math]p[/math] auswählt und mit Hilfe des [math]c[/math]'s eine Sicherheitswahrscheinlichkeit, dann kann man von dem gewählten [math]p[/math] aus eine Gerade senkrecht nach oben ziehen. Auch dabei wird die Ellipse bei zwei Werten geschnitten. Diese beiden Werte sind dann die [math]c[/math]-fache Sigma-Umgebung zur Wahrscheinlichkeit [math]p[/math] mit der gewählten Anzahl der Versuche [math]n[/math].

Im Kapitel [b][url=https://www.geogebra.org/m/hwark6vw#material/uwg5baky]Vertrauensintervalle - die Herleitung[/url][/b] sind wir für Vertrauensintervalle auf die Gleichung [math](h_n-p)^2= c^2\cdot\frac{p\cdot(1-p)}{n}[/math] gestoßen. Wenn diese Gleichung nach p aufgelöst wird, dann erhalten wir die untere und die obere Grenze des gesuchten Vertrauensintervalls.[br]Beim händischen Auflösen der Gleichung haben wir als Zwischenergebnis eine quadratische Gleichung für p erhalten:[br][math] (n+c^2)\,p^2-(2\,h_n\,n+c^2)\,p+h_n^2\,n= 0[/math][br]Wenn diese Gleichung als Funktionsgleichung in Abhängigkeit von der Variable [math]p[/math] formuliert wird, erhalten wir die Funktionsgleichung: [br][math] f(p)=(n+c^2)\,p^2-(2\,h_n\,n+c^2)\,p+h_n^2\,n[/math][br]Die Nullstellen dieser Funktion sind dann die Grenzen unseres Vertrauensintervalls. Genau in der Mitte, im Scheitelpunkt der Parabel, ist auf der Abszisse der Wert der relativen Häufigkeit abzulesen.